Question

【題目】

【發現】

如圖∠ACB=∠ADB=90°，那么點D在經過A，B，C三點的圓上（如圖①）

【思考】

如圖②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（點C，D在AB的同側），那么點D還在經過A，B，C三點的圓上嗎？

請證明點D也不在⊙O內．

【應用】

利用【發現】和【思考】中的結論解決問題：若四邊形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=90°，點E在邊AB上，CE⊥DE．

（1）作∠ADF=∠AED，交CA的延長線于點F（如圖④），求證：DF為Rt△ACD的外接圓的切線；

（2）如圖⑤，點G在BC的延長線上，∠BGE=∠BAC，已知sin∠AED=，AD=1，求DG的長．

Answer 1

【答案】【思考】證明見試題解析；【應用】（1）證明見試題解析；（2）．

【解析】

試題分析：【思考】假設點D在⊙O內，由圓周角定理及三角形外角的性質，可證得與條件相矛盾的結論，從而證得點D不在⊙O內；

【應用】（1）作出RT△ACD的外接圓，由發現可得點E在⊙O上，則∠ACD=∠FDA，又∠ACD+∠ADC=90°，有∠FDA+∠ADC=90°，即可得出DF是圓的切線；

（2）由【發現】和【思考】可得點G在過C、A、E三點的圓O上，證明四邊形AOGD是矩形，由已知條件解直角三角形ACD可得AC的長，即DG的長．

試題解析：【思考】如圖1，假設點D在⊙O內，延長AD交⊙O于點E，連接BE，則∠AEB=∠ACB，∵∠ADE是△BDE的外角，∴∠ADB＞∠AEB，∴∠ADB＞∠ACB，因此，∠ADB＞∠ACB這與條件∠ACB=∠ADB矛盾，所以點D也不在⊙O內，所以點D即不在⊙O內，也不在⊙O外，點D在⊙O上；

【應用】

（1）如圖2，取CD的中點O，則點O是RT△ACD的外心，∵∠CAD=∠DEC=90°，∴點E在⊙O上，∴∠ACD=∠AED，∵∠FDA=∠AED，∴∠ACD=∠FDA，∵∠DAC=90°，∴∠ACD+∠ADC=90°，∴∠FDA+∠ADC=90°，∴OD⊥DF，∴DF為Rt△ACD的外接圓的切線；

（2）∵∠BGE=∠BAC，∴點G在過C、A、E三點的圓上，如圖3，又∵過C、A、E三點的圓是RT△ACD的外接圓，即⊙O，∴點G在⊙O上，∵CD是直徑，∴∠DGC=90°，∵AD∥BC，∴∠ADG=90°，∵∠DAC=90°，∴四邊形ACGD是矩形，∴DG=AC，∵sin∠AED=，∠ACD=∠AED，∴sin∠ACD=，在RT△ACD中，AD=1，∴=，∴CD=，∴AC==，∴DG=．