Question

3．唐代大詩人李白喜好飲酒作詩，民間有“李白斗酒詩百篇”之說．《算法統宗》中記載了一個“李白沽酒”的故事．詩云：
今攜一壺酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店飲半斗．相逢三處店，飲盡壺中酒．試問能算士：如何知原有．
注：古代一斗是10升．
大意是：李白在郊外春游時，做出這樣一條約定：遇見朋友，先到酒店里將壺里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照這樣的約定，在第3個店里遇到朋友正好喝光了壺中的酒．
（1）列方程求壺中原有多少升酒；
（2）設壺中原有a₀升酒，在第n個店飲酒后壺中余a_n升酒，如第一次飲后所余酒為a₁=2a₀-5（升），第二次飲后所余酒為a₂=2a₁-5=2²a₀-（2²-1）×5（升），…
①用含a_n-1的式子表示a_n=2a_n-1-5，再用含a₀和n的式子表示a_n=2ⁿa₀-（2ⁿ-1）×5；
②按照這個約定，如果在第4個店喝光了壺中酒，請借助①中的結論求壺中原有多少升酒．

Answer 1

分析 （1）設壺中原有x升酒，由在第3個店里遇到朋友正好喝光了壺中的酒可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；
（2）①根據a₁、a₂、a₃的變化，找出變化規律“a_n=2a_n-1-5=2ⁿa₀-（2ⁿ-1）×5”，此題得解；
②令a_n=2a_n-1-5=2ⁿa₀-（2ⁿ-1）×5中n=4、a_n=0即可得出關于a₀的一元一次方程，解之即可得出結論．

解答 解：（1）設壺中原有x升酒，
根據題意得：2[2（2x-5）-5]=5，
解得：x=$\frac{35}{8}$．
答：壺中原有$\frac{35}{8}$升酒．
（2）①觀察，發現：a₁=2a₀-5，a₂=2a₁-5=2²a₀-（2²-1）×5，a₂=2a₁-5=2²a₀-（2²-1）×5，a₃=2a₂-5=2³a₀-（2³-1）×5，…，
∴a_n=2a_n-1-5=2ⁿa₀-（2ⁿ-1）×5．
故答案為：2a_n-1-5；2ⁿa₀-（2ⁿ-1）×5．
②由題意得：a₄=2⁴a₀-（2⁴-1）×5=16a₀-75=0，
解得：a₀=$\frac{75}{16}$．
答：如果在第4個店喝光了壺中酒，則壺中原有$\frac{75}{16}$升酒．

點評 本題考查了一元一次方程的應用以及規律型中數字變化類，根據等式的變化找出變化規律是解題的關鍵．