Question

【題目】已知AB為⊙O直徑，以OA為直徑作⊙M．過B作⊙M得切線BC，切點為C，交⊙O于E．
（1）在圖中過點B作⊙M作另一條切線BD，切點為點D（用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，不用證明）；
（2）證明：∠EAC=∠OCB；
（3）若AB=4，在圖2中過O作OP⊥AB交⊙O于P，交⊙M的切線BD于N，求BN的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：以MB為直徑作圓，與⊙M相交于點D，直線BD即為另一條切線．
（2）證明：∵BC切圓與點C，

∴∠OCB=∠OAC，∠ECA=∠COA；

∵OA、AB分別為⊙M、⊙O的直徑

∴∠AEC=∠ACO=90°，

∵∠EAC+∠ECA=90°，∠OAC+∠COA=90°，

∴∠EAC=∠OAC=∠OCB．

（3）解：連接DM，

則∠BDM=90°在Rt△BDM中，BD=BC ．

∵△BON∽△BDM，

∴ ，

∴ ，

∴BN= ．

【解析】（1）以MB為直徑作圓，與⊙M相交于點D，直線BD即為另一條切線．（2）根據BC切圓與點C，得到∠OCB=∠OAC、∠ECA=∠COA；再根據OA、AB分別為⊙M、⊙O的直徑得到∠AEC=∠ACO=90°，從而得到∠EAC=∠OAC=OCB；（3）連接DM，則可以得到∠BDM=90°，然后利用△BON∽△BDM列出比例式求得BN的長即可．
【考點精析】掌握圓周角定理和切線的性質定理是解答本題的根本，需要知道頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．