Question

【題目】如圖①，已知拋物線y＝ax2﹣4amx+3am2（a、m為參數，且a＞0，m＞0）與x軸交于A、B兩點（A在B的左邊），與y軸交于點C．

（1）求點B的坐標（結果可以含參數m）；

（2）連接CA、CB，若C（0，3m），求tan∠ACB的值；

（3）如圖②，在（2）的條件下，拋物線的對稱軸為直線l：x＝2，點P是拋物線上的一個動點，F是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P，使△POF成為以點P為直角頂點的的等腰直角三角形．若存在，求出所有符合條件的點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（3m，0）；（2）tan∠ACB＝；

（3）點P的坐標是：（）或（）或（）或（）．

【解析】

（1）令y＝0，解方程ax2﹣4amx+3am2＝0，即可求出點B的坐標；

（2）過點A作AD⊥BC，垂足為點D，可得△BOC為等腰直角三角形，求出AD，CD，則tan∠ACB的值為；

（3）求出拋物線的解析式，分不同的情況：①當P在對稱軸的左邊，如圖3，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，證明△OMP≌△PNF，根據|OM|＝|PN|，列方程可得點P的坐標；同理可得其他圖形中點P的坐標，②當P在對稱軸的左邊，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，則可求出點P的坐標．

解：（1）令y＝0，則有ax2﹣4amx+3am2＝0，

解得：x1＝m，x2＝3m，

∵m＞0，A在B的左邊，

∴B（3m，0）；

（2）如圖1，過點A作AD⊥BC，垂足為點D，

由（1）可知B（3m，0），則△BOC為等腰直角三角形，

∵OC＝OB＝3m，

∴BC＝3m，

又∵∠ABC＝45°，

∴∠DAB＝45°，

∴AD＝BD，

∵AB＝2m，

∴m，CD＝2m，

∴tan∠ACB＝；

（3）∵由題意知x＝2為對稱軸，

∴2m＝2，

即m＝1，

∵在（2）的條件下有（0，3m），

∴3m＝3am2，

解得m＝，即a＝1，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+3，

①當P在對稱軸的左邊，如圖2，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，

∵△OPF是等腰直角三角形，且OP＝PF，

易得△OMP≌△PNF，

∴OM＝PN，

∵P（m，m2﹣4m+3），

則﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，

解得：m＝或，

∴P的坐標為（，）或（）；

②當P在對稱軸的右邊，

如圖3，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF，

∴PN＝FM，

則﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，

解得：x＝或；

P的坐標為（）或（）；

綜上所述，點P的坐標是：（）或（）或（）或（）．