Question

如圖，等腰直角三角形紙片ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，直角邊AC在x軸上，B點在第二象限，A（1，0），AB交y軸于E，將紙片過E點折疊使BE與EA所在直線重合，得到折痕EF（F在x軸上），再展開還原沿EF剪開得到四邊形BCFE，然后把四邊形BCFE從E點開始沿射線EA平移，至B點到達A點停止．設平移時間為t（s），移動速度為每秒1個單位長度，平移中四邊形BCFE與△AEF重疊的面積為S．
（1）求折痕EF的長；
（2）是否存在某一時刻t使平移中直角頂點C經過拋物線y=x²+4x+3的頂點？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由；
（3）直接寫出S與t的函數關系式及自變量t的取值范圍．

Answer 1

（1）∵折疊后BE與EA所在直線重合
∴FE⊥EA又Rt△ABC中AC=BC
∴∠CAB=45°
∴EF=EA
∵A（1，0）
∴OA=OE=1，AE=

2

∴折痕EF=

2

．

（2）存在，設CP∥BA交Y軸于P，
則△POC為等腰直角三角形，直角頂點C在射線CP上移動
∵AC=4，OA=1
∴OC=OP=3
∴C（-3，0），P（0，-3）可求得PC所在直線解析式為：y=-x-3
∵直角頂點C從（-3，0）位置移動到（-2，-1）時，水平移動距離為|-2-（-3）|=1（長度單位）
∴直角頂點C從開始到經過此拋物線頂點移動的時間t=

1

2 2

=

2

(s)．
（3）當0≤t≤

2

時，
四邊形BCFE與△AEF重疊的面積為：直角梯形EFQE ₁，
故面積為：S=

1

2

（EF+E₁Q）×EE₁=

1

2

t（

2

-t+

2

）=-

1

2

t²+

2

t，
同理可得出其它函數解析式：
s=

- 1 2 t2+ 2 t(0≤t≤ 2 ) 1( 2 ≤t≤2 2 ) - 1 4 t2+ 2 t-1(2 2 ≤t≤3 2 ) 1 4 t2+2 2 t+8(3 2 ≤t≤4 2 )

．