Question

【題目】已知：在△ABC中，BA=BC，BD是△ABC的中線，△ABC的角平分線AE交BD于點F，過點C作AB的平行線交AE的延長線于點G

（1）如圖1，若∠ABC=60°，求證：AF=EG;

（2）如圖2，若∠ABC=90°，求證：AF=EG;

（3）在（2）的條件下如圖3，過點A作∠CAH=∠FAC，過點B作BM∥AC交AG于點M，點N在AH上，連接MN、BN，若∠BMN+∠EAH=90°，，求BN的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）6.

【解析】

（1）先判斷出△ABC是等邊三角形，設DF=a，表示出AF、EF，根據兩直線平行，內錯角相等求出∠G=∠CAE=30°，表示出GE，然后相比即可；

（2）取EG的中點P，連接CF、CP，根據角平分線的定義求出∠BAE=∠FAC=22.5°，根據等腰直角三角形的對稱性可得AF=CF，然后求出∠CFP=45°，再求出∠ECG=90°，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CP=GP=EG，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠G=∠BAE=22.5°，再求出∠CPF=45°，根據等角對等邊可得CF=CP，從而得到AF=CP，AF=EG，整理即可得證；

（3）過點B作BK⊥AM于K，過點M作ML⊥AH于H，先求出∠EAH=30°，根據直角三角形兩銳角互余求出∠AML=∠BMN=60°，然后求出∠BMK=∠NML，再求出∠BAE=∠BME=22.5°，根據等角對等邊可得AB=BM，根據等腰三角形三線合一的性質可得MK=AM，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得ML=AM，從而得到MK=ML，再利用“角邊角”證明△BMK和△NML全等，根據全等三角形對應邊相等可得MN=BM，再根據等腰直角三角形的面積求出AB，再判斷出△BMN是等邊三角形，然后求解即可．

（1）證明：∵BA=BC，∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

設DF=a，

∵BD為△ABC的中線，AE為△ABC的角平分線，

∴AF=2a，EF=a，

∵CG∥AB，

∴∠G=∠CAE=∠CAE=30°，

∴GE=AE=AF+EF=2a+a=3a，

∴AF=EG；

（2）證明：取EG的中點P，連接CF、CP，

∵BA=BC，∠ABC=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AF=CF，

∵AF是△ABC的角平分線，

∴∠BAE=∠FAC=22.5°，

∴∠CFP=45°，

∵CG∥AB，

∴∠ECG=∠ABC=90°，

∴CP=GP=EG，

∵CG∥AB，

∴∠G=∠BAE=22.5°，

∴∠CPF=45°，

∴CF=CP，

∴AF=EG；

（3）過點B作BK⊥AM于K，過點M作ML⊥AH于H，

∵∠CAH=∠FAC，

∴∠EAH=22.5°+×22.5°=30°，

∴∠AML=90°-30°=60°，

∵∠BMN與∠EAH互余，

∴∠BMN=90°-30°=60°，

∴∠BMK=∠NML，

∵AE是△ABC的平分線，CG∥AB，

∴∠BAE=∠BME=×45°=22.5°，

∴AB=BM，

∴MK=AM，

∵∠MAH=30°，ML⊥AH，

∴MH=AM，

∴MK=ML，

在△BMK和△NML中，

，

∴△BMK≌△NML（ASA），

∴MN=BM，

∴MN=AB，

∵△ABC的面積為18，

∴AB2=18，

∴AB=6，

∵∠BMN=60°，BM=MN，

∴△BMN是等邊三角形，

∴BN=MN=6．