Question

已知：關于x的方程①x²-（m+2）x+m-2=0有兩個符號不同的實數根x₁，x₂，且x₁＞|x₂|＞0；關于x的方程②mx²+（n-2）x+m²-3=0有兩個有理數根且兩根之積等于2．求整數n的值．

Answer 1

分析：首先對第一個方程進行分析，求出m的取值范圍，然后通過第二個方程可知

m2-3

m

=2，求出m的值，再把m的值代入第二個方程，即得△=（n-2）²-8=k²，通過分析，得關于n和k的二元一次方程組，解方程組即可．

解答：解：由方程①知：
∵x₁•x₂＜0，x₁＞|x₂|＞0，
∴x₁＞0，x₂＜0，
∵△=（m-2）²+8＞0，
∴x₁+x₂=m+2＞0，x₁•x₂=m-2＜0，
∴-2＜m＜2，
由方程②知：

m2-3

m

=2，
∴m²-2m-3=0，
∴m=3（舍去），m=-1（2分）
代入②得：x²-（n-2）x+2=0，
∵方程的兩根為有理數，
∴△=（n-2）²+8=k²，
∴△=（n-2）²-k²=-8，（n-2+k）（n-2-k）=-8，
∴

n-2+k=4 n-2-k=-2

或

n-2+k=2 n-2-k=-4

，
∴n=5或n=1．

點評：本題主要考查根與系數的關系、根的判別式、解二元一次方程組，關鍵在于確定m的取值，然后分析出關于n和k的二元一次方程組．