Question

20、已知直角△ABC中∠B=90°，延長BC到D，使CD=AB，過D作BD的垂線，在這個垂線上截取DE=BC．求證：AC⊥EC．

Answer 1

分析：根據題意得出△CDE≌△ABC（SAS），則∠A=∠DCE，再根據∠A+∠ACB=90°，則∠DCE+∠ACB=90°，從而得出∠ACE=90°，即AC⊥EC．

解答：證明：∵ED⊥BD（已知），
∴∠D=90°（垂直的定義）．
在△CDE和△ABC中，∵∠D=∠B，CD=AB，DE=BC（已知），
∴△CDE≌△ABC（SAS），（1分）
∠A=∠ECD（全等三角形的對應角相等）．（1分）
在RT△ABC中，∠B=90°（已知），
∴∠A+∠ACB=90°（直角三角形兩銳角互余），（1分）
∴∠ECD+∠ACB=90°（等量代換），
∴∠ACE=180°-∠ECD-∠ACB=90°（平角的定義），（1分）
∴AC⊥EC（垂直的定義）．（1分）

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質，以及垂直的定義，是識記的內容，要熟練掌握．