Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，1），直線l：y=﹣1．動點P滿足條件：

①P在這個平面直角坐標系中；
②P到A的距離和P到l的距離相等；
（1）求點P所經過的軌跡方程，并在網格中繪制這個圖象．（提示：平面直角坐標系中兩點之間的距離可以通過勾股定理來求得）
（2）已知直線y=kx+1，小明同學說，這條直線與（1）中所繪的圖象有兩個交點？你能說明小明為什么這么說嗎？
（3）經過了上述的計算、繪圖，小明發現，如果第（2）問的兩個交點分別為B、C，那么，過BC的中點M作直線l的垂線，垂足為H，連接BH、CH，所得到的三角形BCH是個特殊的三角形，你能說明它是什么三角形嗎？為什么？

Answer 1

【答案】
（1）

解：設P的坐標為P（x，y），由題意得： =|y+1|，

兩邊平方得：x2+（y﹣1）2=（y+1）2，

∴y= x2，即P的軌跡為一拋物線，其圖象如圖1所示；

（2）

解：拋物線直線方程聯立得 ，消去y可得x2﹣4kx﹣4=0，

∴△=16k2+16＞0，

∴直線y=kx+1與拋物線有兩個交點；

（3）

解：如圖2，過B作BB′⊥l于B′，過C作CC′⊥l于C′，

由（1）中的條件可得BB′=BA，CC′=CA，

∴BC=BA+AC=BB′+CC′，

又由題意可得MH是梯形BB′C′C的中位線，

∴MH= （BB′+CC′）= BC，

∴MB=MC=MH，

∴△BHC是以∠BHC為直角的直角三角形．

【解析】（1）設出P點坐標，表示出P到A的距離和P到l的距離相等，可求得其軌跡方程，可畫出圖象；（2）聯立直線與拋物線解析式利用一元二次方程的判別式可判斷得出；（3）過B作BB′⊥l于B′，過C作CC′⊥l于C′，由條件可證明MH為梯形BB′C′C的中位線，可證得△BCH為直角三角形．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�