Question

（2007•淮安）在平面直角坐標系中，放置一個如圖所示的直角三角形紙片AOB，已知OA=2，∠AOB=30度．D、E兩點同時從原點O出發，D點以每秒個單位長度的速度沿x軸正方向運動，E點以每秒1個單位長度的速度沿y軸正方向運動，設D、E兩點的運動時間為t秒．
（1）點A的坐標為______

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知：OA=2，∠AOB=30°，則根據直角三角形中30°所對的邊是斜邊的一半，則AB=1，根據勾股定理可以求得OB=；所以可以求得點A與點B的坐標．
（2）如果連接DE，那么根據D、E兩點的速度可得出OD：OE=，因此直角三角形ODE中，∠OED=60°，而已知了∠AOB=30°，即可得出OA⊥DE．
（3）本題只需考查直線DE過O，A兩點時，t的取值即可．
（4）本題要分三種情況進行討論．
①當0≤t≤時，重合部分是三角形．
②當＜t≤時，重合部分是四邊形．
③當＜t≤時，重合部分是三角形．
可據此來求出S，t的關系式，以及S的最大取值．
解答：解：（1）由題意可知：OA=2，∠AOB=30°，則根據直角三角形中30°所對的邊是斜邊的一半，則AB=1，根據勾股定理可以求得OB=；則點A的坐標為（1，），點B的坐標為（0，）；

（2）垂直．
理由：連接DE，直角三角形ODE中，tan∠OED==，
∴∠OED=60°．
∵∠BOA=30°，
∴OA⊥ED．

（3）因為DE總是垂直于OA運動，因此可以看做直線DE沿OA方向進行運動．因此兩者有公共點的取值范圍就是O?A之間．
當DE過O點時，t=0．
當DE過A點時，直角三角形OAD中，OA=2，∠ODA=30°，因此OD=4，t=．
因此t的取值范圍是0≤t≤．

（4）當0≤t≤時，S=t²；Smax=；
當＜t≤時，S=-t²-（-t）²=-（t-）²+，Smax=；
當＜t≤時，S=（2-t）²，S無最大值；
綜上所述S的最大值為．
點評：本題中對于點的運動要分類進行討論．分類討論是初中數學重要的思想方法，難點是一要想到用討論的方法進行求解．二是討論界限要確定不要漏解和重復．