Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象交x軸于兩點，交軸于點，點為拋物線的頂點，且兩點的橫坐標分別為1和4．

（1）求點B的坐標；
（2）求二次函數的函數表達式；
（3）在（2）的拋物線上，是否存在點P，使得45°？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）B(7，0)；（2）；（3）P(6，5)或P（8，-7）

試題分析：（1）根據C點的橫坐標為4可得拋物線的對稱軸為x=4，根據拋物線的對稱性即可求得結果；
（2）把點A、B的坐標代入函數關系式，即可根據待定系數法求得結果；
（3）設存在P（x，y）使得∠BAP=45°，分①P在x軸上方，②P在x軸下方，根據拋物線上的點的坐標的特征即可求得結果.
（1）∵兩點的橫坐標分別為1和4
∴拋物線的對稱軸為x=4
∴點B的坐標為(7，0)；
（2）∵A（1，0），B（7，0）在拋物線上
∴
∴
∴；
（3）設存在P（x，y）使得∠BAP=45°
①P在x軸上方的時候，做PE⊥x軸于E，則x-1=y
即：x-1=
解得（舍去）
②P在x軸下方的時候，做PE⊥x軸于F，則x-1=-y
即：x-1=
解得（舍去）
∴存在點P(6，5)或P（8，-7）使得∠BAP=45°.
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．