Question

【題目】如圖①，△ABC的角平分線BD，CE相交于點P.

(1)如果∠A=80，求∠BPC= .

(2)如圖②,過點P作直線MN∥BC,分別交AB和AC于點M和N,試求∠MPB+∠NPC的度數(用含∠A的代數式表示) .

(3)將直線MN繞點P旋轉。

(i)當直線MN與AB，AC的交點仍分別在線段AB和AC上時，如圖③，試探索∠MPB，∠NPC，∠A三者之間的數量關系，并說明你的理由。

(ii)當直線MN與AB的交點仍在線段AB上,而與AC的交點在AC的延長線上時,如圖④,試問(i)中∠MPB，∠NPC，∠A三者之間的數量關系是否仍然成立?若成立，請說明你的理由；若不成立，請給出∠MPB，∠NPC，∠A三者之間的數量關系，并說明你的理由。

Answer 1

【答案】130°；

（2）90°﹣∠A

（3）（i）∠MPB+∠NPC=90°﹣∠A，理由見解析.

（ii）不成立，有∠MPB﹣∠NPC=90°﹣∠A．

理由見解析.

【解析】試題分析: （1）根據三角形內角和定理得到，再根據角平分線定義得到 ，再利用三角形內角和定理得，然后把∠A的度數代入計算；

（2）根據平角定義得 ，然后根據（1）的求解；

（3）（ i）∠與（2）的說理一樣；

（ⅱ）有結論 ．

本題解析：(1)

故答案為：

(2)由 = 得∠MPB+∠NPC= ∠BPC=1( + ∠A)= ∠A；故答案為：∠MPB+∠NPC=∠A.

(3)(i)∠MPB+∠NPC=∠A.

理由如下：

∵∠BPC=+12∠A，

∴∠MPB+∠NPC=∠BPC=180(+∠A)= 12∠A.

(ii)不成立,有∠MPB∠NPC=∠A.

理由如下：由題圖④可知∠MPB+∠BPC∠NPC=，

由(1)知：∠BPC=+∠A，∴∠MPB∠NPC=∠BPC=(+∠A)= ∠A.