Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．
（1）求證：△AFO≌△CEB；
（2）若EB=5cm，CD=10

3

cm，設OE=x，求x值及陰影部分的面積．

Answer 1

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OF⊥AC，
∴OF∥BC，
∴∠AOF=∠B，
∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴∠BEC=90°，
∵OF⊥AC，
∴∠AFO=∠BEC=90°，
∵在△AFO和△CEB中

∠AFO=∠CEB OF=BE ∠AOF=∠B

，
∴△AFO≌△CEB（ASA）；

（2）連接OD，
由垂徑定理得：CE=DE=5

3

cm，
∵EB=5cm，
∴∠ABC=60°，因為OB=OC，
則△OBC是等邊三角形，
∴∠BOC=60°，
則弧CD所對的圓心角是120°，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：x²=(5

3

)2+（x-5）²，
x=10（cm），則扇形COD的面積為

120π×102

360

=

100π

3

cm²，
∵OE=5cm，
∴△COD的面積為

1

2

×10

3

×（10-5）=25

3

（cm²）
∴陰影部分面積為：（

100π

3

-25

3

）cm²．