Question

已知圓O的直徑AB、CD互相垂直，弦AE交CD于F，若圓O的半徑為R.
求證：AE·AF＝2 R.

Answer 1

見解析

連接BE，根據圓周角定理可的∠AEB=90，再有AB⊥CD，公共角∠A，即可證得△AOF∽△AEB，根據相似三角形的對應邊成比例即得結果。
解：如圖，連接BE，

∵AB為⊙O的直徑
∴∠AEB=90°
∵AB⊥CD
∴∠AOF=90°
∴∠AOF=∠AEB=90°
又∠A=∠A
∴△AOF∽△AEB
∴AE•AF=AO•AB
∵AO=R，AB=2R
所以AE•AF=2R²．