Question

已知在矩形ABCD中，AB=

2

，BC=3，點F為CD的中點，EF⊥BF交AD于點E，連接CE交BF于點G，則EG=______．

Answer 1

延長BF、AD交于M，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC=

2

，∠ADC=∠BCD=90°，
∵F為CD中點，
∴CF=DF=

1

2

CD=

2

2

∵EF⊥BF，
∴∠EFB=90°，
∴∠FBC+∠BFC=90°，∠BFC+∠DFE=90°，
∴∠DFE=∠FBC，
∵∠EDC=∠BCF=90°
∴△EDF∽△FCB，
∴

DE

CF

=

DF

BC

，
∴

DE

2 2

=

2 2

3

，
∴DE=

1

6

，
由勾股定理得：EC=

DE2+DC2

=

( 1 6 )2+( 2 )2

=

73

6

，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△DFM∽△CFB，
∴

DF

CF

=

DM

BC

，
∵DF=CF，
∴BC=DM=3，
∵AD∥BC，
∴△EGM∽△CGB，
∴

EG

CG

=

EM

BC

，

EG

73 6 -EG

=

1 6 +3

3

，
EG=

19

222

73

，
故答案為：

19

222

73

．