Question

【題目】在平面直角坐標系中，現將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，點C為 (－1，0) ．如圖所示，B點在拋物線y＝x2＋x－2圖象上，過點B作BD⊥x軸，垂足為D，且B點橫坐標為－3．

（1）求證：△BDC≌△COA；

（2）求BC所在直線的函數關系式；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）先根據同角的余角相等證得，又為等腰直角三角形，可得．即可證得結論；（2）；（3）

【解析】試題分析：（1）先根據同角的余角相等證得，又為等腰直角三角形，可得．即可證得結論；

（2）由C點坐標可得BD=CO=1，即可得到B點坐標 設所在直線的函數關系式為，根據待定系數法即可求得結果；

（3）先求得拋物線的對稱軸為直線．再分以為直角邊，點為直角頂點；以為直角邊，點為直角頂點，兩種情況根據一次函數的性質求解即可.

（1）∵， ，

∴．

∵為等腰直角三角形，

∴．

在和中

∴（AAS）．

（2）∵C點坐標為，

∴BD=CO=1．

∵B點的橫坐標為，

∴B點坐標為．

設所在直線的函數關系式為，

則有，解得

∴BC所在直線的函數關系式為．

（3）存在．

=，

∴對稱軸為直線．

若以為直角邊，點為直角頂點，對稱軸上有一點，使．

∵

∴點為直線與對稱軸直線的交點．

由題意得，解得

∴．

若以為直角邊，點為直角頂點，對稱軸上有一點，使，

過點作，交對稱軸直線于點．

∵CD=OA，

∴A（0，2）．

易求得直線的解析式為，

由得，∴．

∴滿足條件的點有兩個，坐標分別為．