Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為直線x=2，點A的坐標為（1，0）．

（1）求該拋物線的表達式及頂點坐標；

（2）點P為拋物線上一點（不與點A重合），聯結PC．當∠PCB=∠ACB時，求點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，將拋物線沿平行于軸的方向向下平移，平移后的拋物線的頂點為點D，點P關于x軸的對應點為點Q，當OD⊥DQ時，求拋物線平移的距離．

Answer 1

【答案】（1）（2，-1）（2）P（，）．（3）．

【解析】

（1）用待定系數法即可求得拋物線的表達式，利用頂點公式即可求得拋物線的頂點坐標；

（2）過點P作PN⊥x軸，過點C作CM⊥PN，交NP的延長線于點M，由點B、C的坐標得為等腰直角三角形，利用等量代換證得∠OCA=∠PCM，利用這對角的正切函數得到MC=3PM，設PM=a，則MC=3a，PN=3-a，得P（3a，3-a）代入拋物線的表達式，即可求得答案；

（3）設D的坐標為（2，），過點D作直線EF∥x軸，交y軸于點E，交PQ的延長線于點F，利用∠OED=∠QFD=∠ODQ=90°，證得∠EOD=∠QDF，再根據其正切函數列出等式即可求得答案.

（1）∵A的坐標為（1，0），對稱軸為直線x=2，∴點B的坐標為（3，0）

將A（1，0）、B（3，0）代入，得

解得：

所以，．

當x=2時，

∴頂點坐標為（2，-1） ．

（2）過點P作PN⊥x軸，垂足為點N．過點C作CM⊥PN，交NP的延長線于點M．

∵∠CON=90°，∴四邊形CONM為矩形．

∴∠CMN=90°，CO= MN．

∵，∴點C的坐標為（0，3）

∵B（3，0），

∴OB=OC．

∵∠COB=90°，

∴∠OCB=∠BCM = 45°，

又∵∠ACB=∠PCB，

∴∠OCB-∠ACB =∠BCM -∠PCB，即∠OCA=∠PCM．

∴tan∠OCA= tan∠PCM．

∴．

設PM=a，則MC=3a，PN=3-a．

∴P（3a，3-a）．

將P（3a，3-a）代入，得

．

解得，（舍）．∴P（，）．

（3）設拋物線平移的距離為m．得，

∴D的坐標為（2，）．

過點D作直線EF∥x軸，交y軸于點E，交PQ的延長線于點F．

∵∠OED=∠QFD=∠ODQ=90°，

∴∠EOD+∠ODE = 90°，∠ODE+∠QDF = 90°，

∴∠EOD=∠QDF，

∴tan∠EOD = tan∠QDF．

∴．

∴．

解得．

所以，拋物線平移的距離為．