Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，矩形的對角線，．

(1)求點的坐標；

(2)把矩形沿直線對折，使點落在點處，折痕分別與、、相交于點、、，求直線的解析式；

(3)若點在直線上，平面內是否存在點，使以、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ；（3）存在符合條件的點共有4個，分別為

【解析】

（1）利用三角函數求得OA以及OC的長度，則B的坐標即可得到；

（2）分別求出D點和E點坐標，即可求得DE的解析式；

（3）分當FM是菱形的邊和當OF是對角線兩種情況進行討論．利用三角函數即可求得N的坐標．

（1）在直角△OAC中，tan∠ACO=，

∴設OA=x，則OC=3x，

根據勾股定理得：（3x）2+（x）2=AC2，

即9x2+3x2=576，

解得：x=4．

則C的坐標是：（12，0），B的坐標是（）；

（2）由折疊可知 ，

∵四邊形是矩形，

∴∥，

∴，

∴=，

∴

設直線的解析式為，則，

解得 ；

∴.

（3）∵OF為Rt△AOC斜邊上的中線，

∴OF=AC=12，

∵ ，

∴tan∠EDC=

∴DE與x軸夾角是60°，

當FM是菱形的邊時（如圖1），ON∥FM，

∴∠NOC=60°或120°．

當∠NOC=60°時，過N作NG⊥y軸，

∴NG=ONsin30°=12×=6，OG=ONcos30°=12×=6，

此時N的坐標是（6，6）；

當∠NOC=120°時，與當∠NOC=60°時關于原點對稱，則坐標是（-6，-6）；

當OF是對角線時（如圖2），MN關于OF對稱，

∵F的坐標是（6，6），

∴∠FOD=∠NOF=30°，

在直角△ONH中，OH=OF=6，ON=．

作NL⊥y軸于點L．

在直角△ONL中，∠NOL=30°，

∴NL=ON=，OL=ONcos30°=×=6．

此時N的坐標是（/span>，6）．

當DE與y軸的交點時M，這個時候N在第四象限，

此時點N的坐標為：（6，-6）．

則N的坐標是：（6，-6）或（6，6）或（-6，-6）或（2，6）．