Question

如圖，拋物線y=x²-mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0．-1）．且對(duì)稱軸x=l．
（1）求出拋物線的解析式及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積為3？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在．說(shuō)明理由（使用圖1）；
（3）點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)（使用圖2）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸公式以及二次函數(shù)經(jīng)過(guò)（0．-1）點(diǎn)即可得出答案；
（2）根據(jù)S_{四邊形ABDC}=S_△AOC+S_梯形OCDM+S_△BMD，表示出關(guān)于a的一元二次方程求出即可；
（3）分別從當(dāng)AB為邊時(shí)，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可以及當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，分別求出即可．
解答：解：（1）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0．-1）．且對(duì)稱軸x=l．
∴，解得：，
∴拋物線解析式為y=x²-x-1，
令x²-x-1=0，得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），

（2）設(shè)在x軸下方的拋物線上存在D（a，）（0＜a＜3）使四邊形ABCD的面積為3．
作DM⊥x軸于M，則S_{四邊形ABDC}=S_△AOC+S_梯形OCDM+S_△BMD，
∴S_{四邊形ABDC}=|x_Ay_C|+（|y_D|+|y_C|）x_M+（x_B-x_M）|y_D|
=×1×1+[-（a²-a-1）+1]×a+（3-a）[-（a²-a-1）]
=-a²++2，
∴由-a²++2=3，
解得：a₁=1，a₂=2，
∴D的縱坐標(biāo)為：a²-a-1=-或-1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-），（2，-1）；

（3）①當(dāng)AB為邊時(shí)，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可，又知點(diǎn)Q在y軸上，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-4或4，
當(dāng)x=-4時(shí)，y=7；當(dāng)x=4時(shí)，y=；
所以此時(shí)點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（-4，7），P₂的坐標(biāo)為（4，）；
②當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，線段AB中點(diǎn)為G，PQ必過(guò)G點(diǎn)且與y軸交于Q點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)P₃作x軸的垂線交于點(diǎn)H，
可證得△P₃HG≌△Q₃OG，
∴GO=GH，
∵線段AB的中點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為1，
∴此時(shí)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為2，
由此當(dāng)x=2時(shí)，y=-1，
∴這是有符合條件的點(diǎn)P₃（2，-1），
∴所以符合條件的點(diǎn)為：P₁的坐標(biāo)為（-4，7），P₂的坐標(biāo)為（4，）；P₃（2，-1）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型，特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．