Question

（2013•揚州）如圖，拋物線y=x²-2x-8交y軸于點A，交x軸正半軸于點B．
（1）求直線AB對應的函數關系式；
（2）有一寬度為1的直尺平行于y軸，在點A、B之間平行移動，直尺兩長邊所在直線被直線AB和拋物線截得兩線段MN、PQ，設M點的橫坐標為m，且0＜m＜3．試比較線段MN與PQ的大小．

Answer 1

分析：（1）利用二次函數解析式，求出A、B兩點的坐標，再利用待定系數法求出一次函數解析式；
（2）根據M的橫坐標和直尺的寬度，求出P的橫坐標，再代入直線和拋物線解析式，求出MN、PQ的長度表達式，再比較即可．

解答：解：（1）當x=0時，y=-8；當y=0時，x²-2x-8=0，
解得，x₁=4，x₂=-2；則A（0，-8），B（4，0）；
設一次函數解析式為y=kx+b，
將A（0，-8），B（4，0）分別代入解析式得

b=-8 4k+b=0

；
解得，

k=2 b=-8

．
故一次函數解析式為y=2x-8；

（2）∵M點橫坐標為m，則P點橫坐標為（m+1）；
∴MN=（2m-8）-（m²-2m-8）=2m-8-m²+2m+8=-m²+4m；
PQ=[2（m+1）-8]-[（m+1）²-2（m+1）-8]=-m²+2m+3；
∴MN-PQ=（-m²+4m）-（-m²+2m+3）=2m-3；
①當2m-3=0時，m=

3

2

，即MN-PQ=0，MN=PQ；
②當2m-3＞0時，

3

2

＜m＜3，即MN-PQ＞0，MN＞PQ；
③當2m-3＜0時，0＜m＜

3

2

，即MN-PQ＜0，MN＜PQ．

點評：本題考查了二次函數綜合題型，涉及待定系數法求一次函數解析式、二次函數與坐標軸的交點問題，同時需要分類討論．