Question

【題目】如圖1，平面內有一點到的三個頂點的距離分別為、、，若有，則稱點為關于點的勾股點．

（1）如圖2，在的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點、、、、、、均在小正方形的頂點上，則點E是關于點B的勾股點.

（2）如圖3，是矩形內一點，且點是關于點的勾股點,

①求證：；

②若，，求的度數．

（3）如圖3，矩形中，，，是矩形內一點，且點是關于點的勾股點．

①當時，求的長；

②直接寫出的最小值．

Answer 1

【答案】（2）①證明見解析；②30°；（3）①AE的長為或；②．

【解析】

（2）①由矩形性質得∠ADC=90°，可得AD2+DC2=AC2；根據勾股數得BC2+EC2=AC2，又因為AD=BC，即得CE=CD．
②設∠CED=α，根據∠AEC=135°和CE=CD即∠ADC=90°，可用α表示△ADE的三個內角，利用三角形內角和180°為等量關系列方程，即求出α進而求出∠ADE．
（3）由條件“點C是△ABE關于點A的勾股點”仍可得CE=CD=5，作為條件使用．①△ADE是等腰三角形需分3種情況討論，把每種情況畫圖再根據矩形性質和勾股定理計算，即能求AE的長．②在CB上截取CH= ，利用兩邊對應成比例及夾角相等構造△ECH∽△BCE，把BE轉化為EH，所以當點A、E、H在同一直線上時，AE+BE=AH取得最小值，利用勾股定理求出AH即可．

解：（2）①證明：∵點C是△ABE關于點A的勾股點
∴CA2=CB2+CE2
∵四邊形ABCD是矩形
∴AB=CD，AD=BC，∠ADC=90°
∴CA2=AD2+CD2=CB2+CD2
∴CB2+CE2=CB2+CD2
∴CE=CD
②設∠CED=α，則∠CDE=∠CED=α
∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=90°-α
∵∠AEC=135°
∴∠AED=∠AEC-∠CED=135°-α
∵DA=DE
∴∠DAE=∠DEA=135°-α
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°
∴2（135°-α）+（90°-α）=180°
解得：α=60°
∴∠ADE=90°-60°=30°
（3）①∵矩形ABCD中，AB=5，BC=8
∴AD=BC=8，CD=AB=5
∵點C是△ABE關于點A的勾股點
∴CE=CD=5
i）如圖1，若DE=DA，則DE=8

過點E作MN⊥AB于點M，交DC于點N
∴∠AME=∠MND=90°
∴四邊形AMND是矩形
∴MN=AD=8，AM=DN
設AM=DN=x，則CN=CD-DN=5-x
∵Rt△DEN中，EN2+DN2=DE2；Rt△CEN中，EN2+CN2=CE2
∴DE2-DN2=CE2-CN2
∴82-x2=52-（5-x）2
解得：x=
∴EN= ，AM=DN=
∴ME=MN-EN=8-,

∴Rt△AME中，AE=
ii）如圖2，若AE=DE，則E在AD的垂直平分線上

過點E作PQ⊥AD于點P，交BC于點Q
∴AP=DP=AD=4，∠APQ=∠PQC=90°
∴四邊形CDPQ是矩形
∴PQ=CD=5，CQ=PD=4
∴Rt△CQE中，EQ=＝3
∴PE=PQ-EQ=2

∴Rt△APE中，AE=
iii）如圖3，若AE=AD=8，則AE2+CE2=AD2+CD2=AC2
∴∠AEC=90°
取AC中點O，則點A、B、C、D在以O為圓心、OA為半徑的⊙O上
∴點E也在⊙O上
∴點E不在矩形ABCD內部，不符合題意
綜上所述，若△ADE是等腰三角形，AE的長為或．
②在CB上截取CH= ，連接EH

∴ ,
∵∠ECH=∠BCE
∴△ECH∽△BCE
∴ ,
∴EH=BE
∴AE+BE=AE+EH
∴當點A、E、H在同一直線上時，AE+BE=AH取得最小值
∵BH=BC-CH=8-＝ ,
∴AH=
∴AE+BE的最小值為．