Question

【題目】如圖，Rt△AOB中，∠OAB=90°，OA=AB，將Rt△AOB放置于直角坐標系中，OB在x軸上，點O是原點，點A在第一象限．點A與點C關于x軸對稱，連結BC，OC．雙曲線 (x＞0)與OA邊交于點D、與AB邊交于點E．

(1)求點D的坐標；

(2)求證：四邊形ABCD是正方形；

(3)連結AC交OB于點H，過點E作EG⊥AC于點G，交OA邊于點F，求四邊形OHGF的面積．

Answer 1

【答案】（1）點D的坐標為(3，3)；（2）見解析；（3）．

【解析】

(1)由OA=AB，∠OAB=90°可得出∠AOB=∠ABO=45°，進而可設點D的坐標為(a，a)，再利用反比例函數圖象上點的坐標特征結合點D在第一象限，即可求出點D的坐標；

(2)由點A與點C關于x軸對稱結合OA=AB可得出OA=OC=AB=BC，進而可得出四邊形ABCO是菱形，再結合∠OAB=90°，即可證出四邊形ABCO是正方形；

(3)依照題意畫出圖形，易證△AFG≌△AEG，進而可得出S四邊形OHGF=S△AOH-S△AFG=S△AOH-S△AEG，設點A的坐標為(m，m)，點E的坐標為(n，)，易證AG=GE，進而可得出2m-n=，再利用三角形的面積公式結合S四邊形OHGF=S△AOH-S△AEG，即可求出四邊形OHGF的面積．

解：(1)∵OA=AB，∠OAB=90°，

∴∠AOB=∠ABO=45°，

∴設點D的坐標為(a，a)．

∵點D在反比例函數y=的圖象上，

∴a=，解得：a=±3．

∵點D在第一象限，

∴a=3，

∴點D的坐標為(3，3)．

(2)證明：∵點A與點C關于x軸對稱，

∴OA=OC，AB=BC．

又∵OA=AB，

∴OA=OC=AB=BC，

∴四邊形ABCO是菱形．

又∵∠OAB=90°，

∴四邊形ABCO是正方形．

(3)依照題意，畫出圖形，如圖所示．

∵EG⊥AC，

∴∠AGE=∠AGF=90°．

∵四邊形ABCO是正方形，

∴AC⊥OB．

∵OA=AB，

∴∠FAG=EAG．

在△AFG和△AEG中，

，

∴△AFG≌△AEG(ASA)，

∴S四邊形OHGF=S△AOH-S△AFG=S△AOH-S△AEG．

設點A的坐標為(m，m)，點E的坐標為(n，)．

∵OA=AB，EF∥OB，

∴AG=GE，

∴m-=n-m，即2m-n=，

∴S四邊形OHGF=m2-(n-m)(m-)=m2-mn++m2-=m(2m-n)+-=+-=．