Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，點P從點A出發，沿折線AC-CB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動，當點P不與點A，B重合時，在邊AB上取一點Q，滿足∠PQA=2∠B，過點Q作QM⊥PQ，交邊BC于點M，以PQ，QM為邊作矩形PQMN，設點P的運動時間為t秒．

（1）直接寫出線段PQ的長（用含t的代數式表示）；

（2）當矩形PQMN為正方形時，求t的值；

（3）設矩形PQMN與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t之間的函數關系式.

Answer 1

【答案】（1）當0<t≤2時，PO= t，當2<t<6時，PQ= t+3 ；（2）t= ；（3）S= - t+

【解析】

（1）利用行程問題的等量關系用含t的代數式表示出線段AP的長，利用勾股定理求出AB的長，然后分兩種情況解答：

①當0<t≤2時，作QH⊥AC，可得QH∥BC，則∠AQH=∠B，已知∠PQA=2∠B，故可得∠AQH=∠PQH，從而可得△AQH≌△PAH，利用全等三角形對應邊相等可得PQ=AQ；然后易證△AQH∽△ABC，利用相似三角形的對應邊成比例列出比例式即可求出線段AQ，而PQ=AQ，故而可求；

②當2<t<6時，作QG⊥BC，可得PQ=QB，利用△BQG∽△BAC對應邊成比例求解，解法同①；

（2）分兩種情況求解：①當0<t≤2時，作QD⊥AC，QE⊥BC，利用正方形的性質易證△DQP≌△EQM，則DQ=EQ，即t+2t=4，解得值即可；②當2<t<6時，PQ=QB>QM，則可判斷PQMN不可能是正方形；

（3）分0<t≤2和2<t<6兩種情況，用割補法求出重合部分的面積即可；

（1）當0<t≤2時，作QH⊥AC，可得QH∥BC，則∠AQH=∠B，已知∠PQA=2∠B，故可得∠AQH=∠PQH，從而可得△AQH≌△PAH，利用全等三角形對應邊相等可得PQ=AQ；然后易證△AQH∽△ABC，利用相似三角形的對應邊成比例列出比例式即可求出線段AQ，而PQ=AQ，故而可求PO= t；當2<t<6時，作QG⊥BC，可得PQ=QB，利用△BQG∽△BAC對應邊成比例，得到PQ= （6-t）= t+3 .

（2）解：當2<t<6時，PQ=QB>QM，此時矩形PQMN不可是正方形．

當0<t≤2時，

如圖，過點Q分別作AC，BC的垂線，垂足為D，E．

∵∠PQM=∠DQE=90°，

∴∠DQP=∠EQM，

又∠PDQ=∠MEQ=90°，PQ=MQ，

∴△DQP≌△EQM（AAS），

∴DQ=EQ

∴t+2t=4，解得t=

即，當t= 時，矩形PQMN為正方形

（3）當0<t≤2時，S=PQ·QM- = t· （4-t）- = +10t；當2<t<6時，S= = = - t+ .