Question

【題目】（1）如圖1，矩形中，點(diǎn)、分別在線段、上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)在線段上，連接、、交于點(diǎn)．求證：四邊形是菱形；

（2）如圖2，矩形中，，點(diǎn)、分別在線段、上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)在線段上，，求的長；

（3）如圖3，有一塊矩形空地，，，點(diǎn)是一個(gè)休息站且在線段上，，點(diǎn)在線段上，現(xiàn)要在點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)處修建一口水井，并且修建水渠和，以便于在四邊形空地上種植花草，余下部分貼上地磚．種植花草的四邊形空地的面積是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）3000.

【解析】

（1）先證，證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)即可證明是菱形；

（2）連接，設(shè)，在Rt△APE中，根據(jù)勾股定理解出x即可；

（3）先表示出四邊形的面積得到最小時(shí)，四邊形的面積最小，當(dāng)點(diǎn)，，在同一條線上時(shí)，最小，再證，根據(jù)相似比求出EG，從而求出面積的最小值.

解：（1）證明：由對(duì)稱可知：，

在矩形中，，

∴，

在 △POE和△QOB中，

∴，

∴，

∵，

∴四邊形是平行四邊形，

∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，

∴，

∴四邊形是菱形；

（2）連接，由對(duì)稱知，，

設(shè)，

∴，

在Rt△APE中，根據(jù)勾股定理得，即，

∴解得：，

∴；

（3）連接，在中，，，

∴，

連接，過點(diǎn)作于，

∴四邊形

，

∴最小時(shí)，四邊形的面積最小，

對(duì)稱可知，，

∴點(diǎn)是以點(diǎn)為圓心，為半徑的一段弧上的一點(diǎn)，

∴點(diǎn)，，在同一條線上時(shí)，最小，

∴，，

∴，

∴，即，

∴，

∴最小，

∴四邊形的面積最小值S．