Question

【題目】如圖，直角梯形中，的圓心從點開始沿折線以的速度向點運動，的圓心從點開始沿邊以的速度向點運動，半徑為的半徑為，若分別從點、點同時出發，運動的時間為

（1）請求出與腰相切時的值；

（2）在范圍內，當為何值時，與外切？

Answer 1

【答案】（1）；（2）3

【解析】

（1）先設⊙O2運動到E與CD相切，且切點是F；連接EF，并過E作EG∥BC，交CD于G，再過G作GH⊥BC于H，那么就得到直角三角形EFG和矩形GEBH．要求⊙O2與CD相切的時間，可以先求出⊙O2從B到E所走的路程BE，即GH的長，再除以運動速度即可．那么求GH的值就是關鍵，由∠C＝60°，可以知道∠CGH＝30°，那么∠FGE＝60°．在Rt△EFG中，可以利用勾股定理求出EG的值，那么CH＝BCBH＝BCEG．在Rt△CGH中，利用60°的角的正切值可求出GH的值，此問就可解了；

（2）因為，所以O1一定在AD上，連接O1O2．利用勾股定理可得到關于t的一元二次方程，求解即可，根據要求，可選擇t的值．

解：如圖所示，設點運動到點處時，與腰相切

過點作，垂足為，則

作，交于，作，垂足為

由直角三角形GEF中，∠EGF＋∠GEF＝90°，

又∠EGF＋∠CGH＝90°，

∴∠GEF＝∠CGH＝30°，

設FG＝xcm，則EG＝2xcm，又EF＝4cm，

根據勾股定理得：FG2＋EF2＝EG2，即x2＋42＝（2x）2，解得x＝，

∵四邊形BHGE是矩形

則HB＝GE＝cm，

∴CH＝BCBH＝BCEG=（9）cm，

又在直角三角形CHG中，∠C＝60°

則EB＝GH＝CHtan60°＝(9)×cm．

所以，t＝（9）秒．

由于，所以，點在邊上

如圖所示，連結，則

由勾股定理得，2＋2＝2，

過點D作DG⊥BC于G點

∴CG=BC-BG=BC-AD=6cm

∵∠C=60°

∴DG=CGtan60°＝6cm=AB

∴=

故，即

解得（不合題意，舍去）

所以，經過秒與外切．