Question

【題目】如圖，在中，，，．點在邊的延長線上，且．在上方作射線，使．點從點出發，以每秒1個單位長度的速度，沿射線方向運動．過點作，垂足為，過點作，垂足為，交線段或線段于點，當點與點重合時，點停止運動．設點的運動時間為秒．

（1）線段的長為______．（用含的代數式表示）

（2）當點與點重合時，求的值．

（3）設的面積為，求與之間的函數關系式．

（4）當點在的某一條邊的中垂線上時，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或或

【解析】

（1）證明△PRD∽△BCA，利用相似三角形的性質即可解決問題．
（2）如圖2中，當D與點C重合時，證明△CPR∽△PDR，可得PR2＝CRDR，由此構建方程即可解決問題．
（3）分兩種情形①當0＜t≤3時，如圖3中，；②當時，如圖32中，S＝，綜合即可；
（4）分三種情形：①如圖41中，當點P在線段AB的垂直平分線上時，設AB的垂直平分線交AB于N，交BC于M．②如圖42中，當點P在線段BC的垂直平分線上時，③如圖43中，當點P在線段AC的垂直平分線上時，分別構建方程即可解決問題．

（1）解：（1）如圖1中，

在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝，
∵PR⊥CD，
∴∠PRD＝∠C＝90°，
∵∠PDR＝∠A，
∴△PRD∽△BCA，
∴，

∵PD=t，

∴，
∴PR＝，DR＝，
故答案為：；

（2）如圖2中，當Q與點C重合時，
∵PQ⊥PD，PR⊥CD，
∴∠QPD＝∠PRQ＝∠PRD＝90°，
∵∠PCR＋∠CPR＝90°，∠CPR＋∠DPR＝90°，
∴∠DPR＝∠PCR，
∴△CPR∽△PDR，
∴
∴PR2＝CRDR，

由（1）可知PR＝，DR＝，

∵BD=1，

∴CD=5，CR=5，
∴（）2＝（5），
解得t＝3．
∴t＝3s時，C，Q重合．

（3）①當時，如圖3中，由（2）可知，△QPR∽△PDR，

則，

∵PR＝，DR＝，

∴

．

②如圖3-1所示，當點Q與點A重合時，點P停止運動，過點A作AM∥CD∠PD于點M，交PR于點N，則PR⊥AM，四邊形ANRC為矩形，∠PMA=∠PDC=∠CAB，

∵AP⊥PD，∠C=90°，

∴∠PAM=∠ABC，

∵PR＝，DR＝，

∴PN=PR-NR=PR-AC=-4，

AN=CR=CD-DR=5-，

∴tan∠PAN=tan∠ABC=，

即，解得：，

∴當時，點P停止運動，

∴當時，如圖3-2中，

∵PR＝，DR＝，

∴CR=，

∴．

綜上所述：；

（4）①如圖41中，當點P在線段AB的垂直平分線上時，設AB的垂直平分線交AB于N，交BC于M．

∵PM⊥平分AB，則BN=

∴，

∴BM＝BN＝，

∵∠MNB=∠C=90°，

則∠ABC+∠A=90°，∠ABC+∠BMN=90°，

∴∠BMN=∠A=∠PDC，

∴PM＝PD，
∴DM＝BM＋BD＝，
∵PR⊥DM，
∴DR＝DM＝，
∴，

∴t＝．
②如圖42中，當點P在線段BC的垂直平分線上時，

則BR=CR=2，

∴DR＝3，即，解得t＝5．

③如圖43中，當點P在線段AC的垂直平分線上時，PR＝CM＝，

即，解得t＝．

綜上所述，滿足條件的t的值為或或．