Question

【題目】已知，如圖，ABCD中，BE，CF分別是∠ABC和∠BCD的一平分線，BE，CF相交于點O．

（1）求證：BE⊥CF；
（2）試判斷AF與DE有何數量關系，并說明理由；
（3）當△BOC為等腰直角三角形時，四邊形ABCD是何特殊四邊形？
（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AB∥CD

∴∠ABC+∠BCD=180°

又∵BE，CF分別是∠ABC，∠BCD的平分線

∴∠EBC+∠FCB=90°

∴∠BOC=90°

故BE⊥CF

（2）解：AF=DE

理由如下：

∵AD∥BC

∴∠AEB=∠CBE

又∵BE是∠ABC的平分線，

∴∠ABE=∠CBE

∴∠AEB=∠ABE

∴AB=AE

同理CD=DF

又∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AB=CD

∴AE=DF

∴AF=DE

（3）解：當△BOC為等腰直角三角形時四邊形ABCD是矩形
【解析】（1）平行四邊形中鄰角互補，且BE、CF分別為一組鄰角的平分線，所以BE和CF垂直．（2）在三角形AEB中，因為BE為平分線，AD和BC平行，所以可得∠ABE=∠AEB，即AB=AE，同理，DF=DC，所以AF=DE．（3）當△BOC為等腰直角三角形時，即∠BOC=90°，由題可知，∠ABC=∠BCD=90°，有一個角是直角的平行四邊形為矩形．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的判定與性質的相關知識，掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積，以及對矩形的判定方法的理解，了解有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形．