Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左則，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，﹣3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．

（1）求這個二次函數的表達式；

（2）求出四邊形ABPC的面積最大時的P點坐標和四邊形ABPC的最大面積；

（3）連結PO、PC，在同一平面內把△POC沿y軸翻折，得到四邊形POP′C，是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（4）在直線BC找一點Q，使得△QOC為等腰三角形，請直接寫出Q點坐標．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣2x﹣3；(2) 點P(，)時，四邊形ABPC的面積有最大值為；(3) 存在點P（，），使四邊形POP′C為菱形；(4)（，﹣3）或（，﹣3）或（3，0）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）根據點B、C的坐標，利用待定系數法即可求出二次函數的表達式；

（2）有點B、C的坐標可得出直線BC的表達式，過P作PD∥y軸，交BC于D，設出點P的坐標，由此即可得出點D的坐標，根據三角形的面積以及三角形的面積公式即可得出關于a的二次函數表達式，根據二次函數的性質即可解決最值問題；

（3）取OC的中點E，過E作OC的垂線交拋物線于P，在PE的延長線上取EP′=PE，連接P′O、P′C，根據菱形的性質即可得出關于x的一元二次方程，解方程即可得出點P和點P′的坐標，此題得解；

（4）設點Q的坐標為（m，m﹣3），結合點O、C的坐標即可得出OC、OQ、QC的長度，分OC=OQ、OC=QC以及OQ=QC三種情況考慮，由此即可得出關于m的方程，解方程求出m的值，將其代入點Q的坐標中即可得出結論．

試題解析：（1）將點B（3，0）、C（0，﹣3）代入y=+bx+c中，

得：，解得：，

∴該二次函數的表達式為y=﹣2x﹣3；

（2）∵點B（3，0），點C（0，﹣3），

∴直線BC：y=x﹣3．

過P作PD∥y軸，交BC于D，如圖1所示．

設P（a，﹣2a﹣3），則點D（a，a﹣3），

當y=0時，﹣2x﹣3=0，

解得：=﹣1，=3，

∴點A（﹣1，0）．

則=AB||+OBDP=×4×3+×3×[a﹣3﹣（﹣2a﹣3）]=，

∵＜0，0＜a＜3，

∴當a=時，﹣2a﹣3==，

∴點P(，)時，四邊形ABPC的面積有最大值，最大值為；

（3）取OC的中點E，過E作OC的垂線交拋物線于P，在PE的延長線上取EP′=PE，連接P′O、P′C，如圖2所示．

∵OE=CE，EP=EP′，OC⊥PP′，

∴四邊形POP′C為菱形．

當y=，則有=﹣2x﹣3，

解得：=（舍去），=，

∴存在點P（，），使四邊形POP′C為菱形；

（4）設點Q的坐標為（m，m﹣3），

∵O（0，0），C（0，﹣3），

∴OC=3，PC==|m|，PO=．

△QOC為等腰三角形分三種情況：

①當OC=PC時，3=|m|，

解得：m=，

此時點Q的坐標為（，﹣3）或（，﹣3）；

②當OC=PO時，3=，

解得：m=3或m=0（舍去），

此時點Q的坐標為（3，0）；

③當PC=PO時，有|m|=，

解得：m=，

此時點Q的坐標為（，）．

綜上可知：Q點坐標為（，﹣3）或（，﹣3）或（3，0）或（，）．