Question

【題目】如圖所示，直線AM∥BN，∠MAB與∠NBA的平分線交于點C，過點C作一條直線l與兩條直線MA，NB分別相交于點D，E．

（1）如圖1，當直線l與直線MA垂直時，試探究AB，AD，BE之間的數量關系并說明理由；

（2）如圖2，當直線l與直線MA不垂直，且交點D，E在AB的異側時，則（1）的結論還成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，請直接寫出AB，AD，BE之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）AD＋BE＝AB（2）不成立，ADAB＝BE．

【解析】

（1）延長AC交BE于Q，求出AB＝BQ，根據等腰三角形性質求出AC＝CQ，推出AD＝EQ，即可得出答案．

（2）延長AC交NB于點F，同①可得AB＝BF，再由全等三角形的判定定理得出△ACD≌△FCE，故可得出AD＝EF，由此可得出結論．

解：（1）AB＝AD＋BE；理由如下：

延長AC交BE于Q，如圖1所示：

∵AC平分∠MAB，

∴∠MAC＝∠BAC，

∵AM∥BN，

∴∠MAC＝∠AQB，

∴∠BAC＝∠AQB，

∴AB＝BQ，

∵BC平分∠ABN，

∴AC＝CQ，

∵AM∥BN，

∴△ACD∽△QCE，

∴

∴AD＝EQ，

∴AD＋BE＝AB．

（2）（1）的結論不成立，ADAB＝BE．理由如下：

延長AC交BE于點F，如圖2所示：

∵AM∥BN，

∴∠MAC＝∠AFB．

∵AC是∠MAB的平分線，

∴∠MAC＝∠BAC，

∴∠BAC＝∠AFB，

∴AB＝BF．

∵AC⊥BC，

∴AC＝CF．

∵AM∥BN，

∴∠DAC＝∠EFC，

在△ACD與△FCE中，

，

∴△ACD≌△FCE（ASA），

∴AD＝EF，

∴ADAB＝BE．