Question

【題目】某公司試銷一種成本為30元/件的新產品，按規定試銷時的銷售單價不低于成本單價，又不高于80元/件，試銷中每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足下表中的函數關系．

x（元/件）	35	40	45	50	55
y（件）	550	500	450	400	350

（1）試求y與x之間的函數表達式；
（2）設公司試銷該產品每天獲得的毛利潤為S（元），求S與x之間的函數表達式（毛利潤=銷售總價﹣成本總價）；
（3）當銷售單價定為多少時，該公司試銷這種產品每天獲得的毛利潤最大？最大毛利潤是多少？此時每天的銷售量是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：解法1：設y與x之間的函數關系滿足y=kx+b

把x=40，y=500；x=50，y=400

分別代入上式得：

，

解得

∴y=﹣10x+900

∵表中其它對應值都滿足y=﹣10x+900

∴y與x之間的函數關系為一次函數，且函數表達式為y=﹣10x+900（30≤x≤80）；

解法2：設y與x之間的函數關系滿足y=ax2+bx+c

把x=35，y=550；x=40，y=500；x=50，y=400分別代入上式

得

解，得 ∴y=﹣10x+900

∵表中其它對應值都滿足y=﹣10x+900

∴y與x之間的函數關系為一次函數，且函數表達式為y=﹣10x+900（30≤x≤80）

（2）解：方法1：毛利潤S=（x﹣30）y

=（x﹣30）（﹣10x+900）

=﹣10x2+1200x﹣27000（30≤x≤80）

方法2：毛利潤S=xy﹣30y

=x（﹣10x+900）﹣30×（﹣10x+900）

=﹣10x2+1200x﹣27000（30≤x≤80）

（3）解：在S=﹣10x2+1200x﹣27000中

∵a=﹣10＜0，∴當 時

∴S最大=﹣10×602+1200×60﹣27000=9000（元）

此時每天的銷售量為：y=﹣10×60+900=300（件）．

∴當銷售單價定為60元/件時，該公司試銷這種產品每天獲得的毛利潤最大，最大毛利潤是9000元，此時每天的銷售量是300件

【解析】（1）方法一，根據圖中表格可知：每天的銷售單價x增加5元，銷售量y減少50件，故每天的銷售量y和銷售單價x之間為一次函數的關系，故可用待定系數法將y與x之間的函數表達式求出；方法二，設y與x之間滿足二次函數表達式，將表格中任意三個值代入，可將該函數求出；（2）方法一，根據：毛利潤=（每件產品的銷售價﹣成本）×銷售量，可求出S與x之間的函數表達式；方法二，根據：毛利潤=銷售總價﹣成本總價，也可求出S與x之間的函數表達式；（3）由（2）知，當x=﹣ 時，二次函數能取得極值．