Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延長線于M，連接CD．下列結論：①BC+CE=AB，②BD=，③BD=CD，④∠ADC=45°，⑤AC+AB=2AM；其中不正確的結論有（    ）

A．0個              B．1個     C．2個             D．3個

Answer 1

A

試題分析：
①過點E作EF⊥AB于點F。已知Rt△ABC中，AC=BC∴∠3=45°。
∵在△ACE和△AFE中，∠ACB=90°∴∠EFA=∠ACB=90°，且AE平分∠BAC，所以∠1=∠2.且AE=AE。所以△ACE≌△AFE�！郈E=EF，AC=AF。在Rt△EFB中，∠3=45°，所以EF=FB。所以BC+CE="=AF+FB=AB" 。
②作 AM與BD延長線相交于G，在Rt△ADG和Rt△BCG中，∠G= ∠G，∠GCB= ∠GDA=90°。
∴∠1= ∠6,已知：  AC=BC
∴  Rt△GBC≡Rt△EAC，∴BG="AE" 。又∵DG=DB（可通過角邊角證明Rt△ADG≌Rt△ADB）
∴  BD=
③BD=CD：證明：∵由②知DG=DB∴在Rt△BGC中，CD為斜邊中線。∴CD=BG=BD
④∵BD=CD所以∠5=∠6=∠1，∵BC∥MD，∴∠MDC=∠5，∠GDM=∠6，∴∠GDC=45°。
∵∠GDA=90°，∴∠ADC=45°
⑤由上可得 AB=AG=AC+CG
∵ DM⊥AC  即 DM//BC, 又 DG=DB
∴  MC=MG=CG
∴  AB-BC=CG=2MC
點評：本題難度較高。學生需要通過輔助線補充好全等直角三角形等條件來證明。一般選擇題中出現這種證明過程較復雜的題目，可以直接用排除法排除。