Question

如圖，AB為⊙O的直徑，D為弦BE的中點，連接OD并延長交⊙O于點F，與過B點的切線相交于點C．若點E為的中點，連接AE．
求證：△ABE≌△OCB．

Answer 1

證明：如圖．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠E=90°，
又∵BC是⊙O的切線，∴∠OBC=90°．
∴∠E=∠OBC．
∵OD過圓心，BD=DE，
∴．
∴∠BOC=∠A，
∵E為中點，
∴．
連接OE，
∴∠AOE=60°，
∴∠ABE=30°．
∵∠E=90°，
∴AE=AB=OB．
∴△ABE≌△OCB．
分析：AB是圓的直徑，我們可得出∠E為直角，BC切圓于B點，那么CB⊥AB，由此我們就得出了∠E=∠OBC=90°，D為弦BE的中點，根據垂徑定理我們不難得出，弧EF=弧BF，又有弧AE=弧EF，那么弧AE=弧EF=弧BF，由此我們可得出∠ABE=30°以及∠BOC=∠A，在Rt△ABE中，AE=AB=OB，這樣就達到了全等三角形判定里的角角邊的條件．
點評：考查圓周角、圓心角、垂徑定理、三角形全等的問題．命題者的意圖是考查學生邏輯推理能力以及公理化的思想．