Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c的頂點為M，對稱軸是直線x＝1，與x軸的交點為A(－3，0)和B．將拋物線y＝x2＋bx＋c繞點B逆時針方向旋轉90°，點M1，A1為點M，A旋轉后的對應點，旋轉后的拋物線與y軸相交于C，D兩點．

(1)寫出點B的坐標及求原拋物線的解析式：

(2)求證A，M，A1三點在同一直線上：

(3)設點P是旋轉后拋物線上DM1之間的一動點，是否存在一點P，使四邊形PM1MD的面積最大．如果存在，請求出點P的坐標及四邊形PM1MD的面積；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）見試題解析；（3）∴點P的坐標為（，-7）使四邊形PM1MD的面積最大，面積最大值為

【解析】

試題（1）根據拋物線的對稱性即可寫出B的坐標，根據對稱軸是直線x=1，與x軸的交點為A（-3，0）代入即可得到方程組，解方程組即可求出b、c的值，即可得到答案；

（2）把x=1代入拋物線解析式即可得到M的坐標，根據旋轉和圖象即可求出M1、A1的坐標，設直線AM的表達式為y=kx+m，把A、M的坐標代入即可求出直線AM的解析式，根據以此函數圖象上點的坐標特征確定點A1在直線AM上即可得到結論；

（3）連接M1D，如圖，由于S△M1MD是定值，則要使四邊形PM1MD的面積最大，只要S△M1PD最大，將△M1PD繞點B順時針旋轉90°，則點M1與點M重合，點P與點Q重合，點D與點F重合，利用旋轉變換得點F的坐標為（-5，5），設點Q的坐標為（m，），易得直線MF的表達式為y=，則根據三角形面積公式得到S△PDM1=S△QMF=（-）×（5+1）=，根據二次函數的性質得當m=-2時，當m=-2時，S△M1PD最大=，則點Q（-2，-），利用旋轉變換得點P的坐標為（，-7），然后計算S△DM1M的面積=24，再計算出四邊形PM1MD的面積為24+=．

試題（1）解：∵點B與點A（-3，0）關于直線x=1對稱，

∴點B的坐標為（5，0），與x軸的交點為A（-3，0）代入即可得到方程組，解得；

（2）點M1的坐標為（9，-4），點A1的坐標為（5，-8），設直線AM的表達式為y=kx+m，把A（-3，0），M（1，-4）代入解得，直線AM的解析式為y=-x-3，當x=5代入y=-x-3=-8，∴點A1在直線AM上，∴∠AMA1=180°；

（3）解：存在點P使四邊形PM1MD的面積最大．

連接M1D，如圖，∵S△M1MD是定值，∴要使四邊形PM1MD的面積最大，只要S△M1PD最大，將△M1PD繞點B順時針旋轉90°，則點M1與點M重合，點P與點Q重合，點D與點F重合，則點Q，F都在拋物線y=上，由于F點的縱坐標為5，當y=5時，解得x1=-5，x2=7（舍去），∴點F的坐標為（-5，5），設點Q的坐標為（m，）易得直線MF的表達式為y=

∴S△PDM1=S△QMF==

當m=-2時，S△M1PD最大=∴點Q（-2，∴點P的坐標為（，-7），

∵點M的坐標為（1，-4），點M1的坐標為（9，-4），D（0，-10），

∴S△DM1M的面積=24，∴四邊形PM1MD的面積為24+=，∴點P的坐標為（，-7）使四邊形PM1MD的面積最大，面積最大值為．