Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，已知點A（-2，0），B（8，0），連接AC，BC．

（1）求拋物線的解析式和點C的坐標；

（2）點D是直線BC上方拋物線上的一點，過點D作DE⊥BC，垂足為E，求線段DE的長度最大時，點D的坐標；

（3）拋物線上是否存在一點P（異于點A，B，C），使？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為，點的坐標為；（2）點的坐標為；（3）存在點，使，點的坐標為或

【解析】

（1）把A、B兩點的坐標代入，解方程組即可得到拋物線的解析式，令x=0求出y的值，即可得到C的坐標；

（2）如圖，過點D作DF//y軸，交BC于F點，則∠DFE=∠BCO，由勾股定理，得到BC的長，由正弦的定義得到DE=DFsin∠DFE=DFsin∠BCO=DF．

求出直線BC的解析式．設，則，得到DF，由DE=DF，配方即可得出結(jié)論；

（3）如圖，連接PC，PB，PA交OC于M，作PN⊥x軸于N交CB于F．設P（m，），則F（m，），分兩種情況討論：①若P在x軸上方，表示出PF的長，得到=．由相似三角形的判定與性質(zhì)得到AO：AN=OM：PN，進而得出OM，CM的長，得到=．由，解方程即可得出點P的坐標．

②當P在x軸下方時，類似可得點P的坐標．

（1）把A（-2，0），B（8，0）分別代入y=ax2+bx+4中，得：，解得：，∴拋物線的解析式為；

令x=0，得y=4，∴點C的坐標為（0，4）．

（2）如圖，過點D作DF//y軸，交BC于F點，則∠DFE=∠BCO，C（0，4），B（8，0），∴OC=4，OB=8．

在RtΔOBC中，由勾股定理，得：BC= ，∴sin∠BCO=，∴在RtΔDEF中，DE=DFsin∠DFE=DFsin∠BCO=DF．

設直線BC的解析式為y=kx+t，把B（8，0），C（0，4）分別代入，得：，解得：，∴直線BC的解析式為；

設，則，∴DF=，∴DE=DF

∵，∴當m=4時，DE的值最大，最大值為，此時點D的坐標為（4，6）．

（3）如圖，連接PC，PB，PA交OC于M，作PN⊥x軸于N交CB于F．設P（m，），則F（m，），分兩種情況討論：①若P在x軸上方，∴PF=，==．

∵AO=2，ON=m，∴AN=m+2．

∵MO∥PN，∴△AOM∽△ANP，∴AO：AN=OM：PN，∴2：（m+2）=OM：，∴OM=，∴CM=CO－OM==，∴==．

∵，∴．

∵m≠0，∴m=6．當m=6時，=4，∴點P的坐標為（6，4）．

②當P在x軸下方時，類似可得：．

∵m≠0，∴m=．當m=時，=；∴點P的坐標為．

綜上所述：存在點P，使，點P的坐標為（6，4）或．