Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ABC+.

（1）求證：AB=AC；

（2）如圖2，點D為AC垂直平分線上一點（點D在AC的右側），連接BD，∠DBC=30°，∠ABC 的平分線AE交BD于點E；

①求證：△ACD 為等邊三角形；

②若AE=nBE，△ABC 的面積記為S△ABC ，△BDC的面積記為S△BDC，則的值為_____.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②．

【解析】

（1）由已知得出2∠ABC+∠BAC=180°，由三角形內角和定理得出∠ABC=∠ACB，即可得出結論；
（2）①延長AE，交BC于點F，連接CE，則AF垂直平分BC，由線段垂直平分線的性質得出AD=CD，由∠DBC=30°，得出∠BEF=∠CEF=∠AED=∠DEC=60°，即ED平分∠AEC，作DG⊥AE于G，DH⊥EC于H，則DG=DH，由HL證得Rt△ADG≌Rt△CDH，得出∠ADC=∠GDH=180°-∠GEH=60°，即可得出結論；
②設AG=CH=x，則EG=EH=EC+CH=BE+x，得出AE=AG+EG=BE+2x=nBE，求出x= BE，AF=AE+EF=nBE+BE=（n+）BE，GF=AF-AG=（n+）BE-BE=（ +1）BE，由三角形面積公式即可得出結論．

（1）證明：∵在△ABC中，∠ABC+∠BAC=90°，
∴2∠ABC+∠BAC=180°，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（2）①證明：延長AE，交BC于點F，連接CE，
則AF垂直平分BC，如圖2所示：
∵點D為AC垂直平分線上一點，
∴AD=CD，
∵∠DBC=30°，
∴∠BEF=∠CEF=∠AED=∠DEC=60°，
即ED平分∠AEC，
作DG⊥AE于G，DH⊥EC于H，
則DG=DH，
在Rt△ADG和Rt△CDH中，

，
∴Rt△ADG≌Rt△CDH（HL），
∴∠ADC=∠GDH=180°-∠GEH=60°，
∴△ACD為等邊三角形；
②解：設AG=CH=x，則EG=EH=EC+CH=BE+x，
∴AE=AG+EG=BE+2x=nBE，
∴x=BE．
AF=AE+EF=nBE+BE=（n+）BE，
GF=AF-AG=（n+）BE-BE=（+1）BE，
∴，
故答案為：．