Question

【題目】在，中，，連接，是中點，連接

（1）如圖1，若三點在同一直線上，，已知，求線段的長；

（2）如圖2，若，求證：為等腰直角三角形；

（3）如圖3，若，請判斷的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）為等邊三角形，理由見解析

【解析】

（1）連接CF，利用等腰三角形的性質，可證得AB=AC， ED=CE，利用直角三角形的性質，易證CF=BF，再根據SSS證明△ACF≌△ABF，利用全等三角形的性質，就可求出∠CAF的度數，同理可得到∠CEF的度數，由此可得到△AEF是等腰直角三角形，可求出AC，CE的長，然后求出AF的長.（2）取BC中點M，CD中點N，連接AM，MF，EN，FN，易證FM為△BCD的一條中位線利用中位線定理可得到FM∥CD，FM=CN，利用有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可知四邊形MCNF為平行四邊形，再利用SAS證明△AMF≌△FNE，利用全等三角形的性質，可證得AF=EF，∠1=∠3，然后證明∠AFE=90°，繼而可證得結論.（3）取BC中點M，CD中點N，連接AM，MF，EN，FN，同理可證四邊形MCNF為平行四邊形，利用平行四邊形的性質，可證得CM=FN， MF=CN， ∠CMF=∠FNC，再結合已知條件可證得AM=FN，∠AMF=∠FNE，然后利用全等三角形的判定和性質，可證得AF=EF，∠1=∠3，再求出∠AFE=60°，即可判斷△AEF的形狀.

（1）連接，

在中， ，

，

三點在同一直線上，

，

為中點，

，

在和中，

，

，

，

同理： ，

為等腰直角三角形，

，

（2）證明：取中點，的中點，連接 ，

為中點，

為的一條中位線，

，

四邊形為平行四邊形， ，

在中，為的中點，

，

同理： ，

，

，

和中，

，

，

，

，

為等腰直角三角形，

（3）證明：取的中點，的中點，連接 ，

為中點，

為的一條中位線，

，

四邊形為平行四邊形， ，

在中，為的中點，∠ABC=30°

，

同理： ，

，，

和中，

，

，

， ，

，

為等邊三角形.