Question

【題目】如圖，已知△ABC內接于⊙O，A B為⊙O的直徑，BD⊥AB，交AC的延長線于點D．

（1）E為BD的中點，連結CE，求證：CE是⊙O的切線．

（2）若AC=3，CD=1，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2） ．

【解析】

連接OC，利用思路：連半徑，通過角的變換，證明出CO與CE的垂直關系，即可得出結論.

證明出△OBC為等邊三角形，再利用分割圖形求面積法即可得出陰影部分的面積，即可得出結論.

（1）如圖：連接CO，

∵A B為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，

在Rt△BCD中，E是BD的中點，

∴∠ECB=∠EBC，

∵BD⊥AB，∴∠EBC+CBA=90°，

而∠OCB=∠CBO，

∴∠OCE=90°，

∴CE是⊙O的切線．

（2）∵∠ACB=∠BCD=90°，

∠CAB=∠CBD，∴△ACB∽△BCD，

∴BC2=ACCD，即：BC=，

AB2=BC2+AC2=3+9=12，

∴OB=AB==BC，

∴△OBC為等邊三角形，

∠BOC=60°，

S陰影=S扇形BCO﹣S△BOC=﹣××=﹣．