Question

【題目】（問題解決）

（1）如圖①，在等邊△ABC中，點M是BC邊上的任意一點（不含端點B，C），連結AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結CN．試判斷∠ABC與∠ACN的大小關系．并說明理由．

（類比探究）

（2）如圖②在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其他條件不變，（1）中結論還成立嗎？請說明理由．

（拓展延伸）

（3）若點M是CB延長線上的任意一點（不含端點B），請直接寫出∠ACN的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠ABC＝∠CAN，理由見解析；（2）∠ABC＝∠ACN仍成立，理由見解析；（3）∠ACN＝120°，理由見解析

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質可得：AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，從而證出∠BAM＝∠CAN，再利用SAS證出△BAM≌△CAN，根據全等三角形的性質即可證出∠ABC＝∠ACN；

（2）原理同上；

（3）由題意先畫出圖形，根據等邊三角形的性質可得：AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，從而證出∠BAM＝∠CAN，∠ABM＝120°，再利用SAS證出△BAM≌△CAN，根據全等三角形的性質即可證出∠ABM＝∠ACN＝120°；

（1）∠ABC＝∠ACN；理由如下：

∵△ABC、△AMN是等邊三角形，

∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，

∴∠BAM＝∠CAN，

∵在△BAM和△CAN中，

，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴∠ABC＝∠ACN；

（2）∠ABC＝∠ACN仍成立；理由如下：

∵△ABC、△AMN是等邊三角形，

∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，

∴∠BAM＝∠CAN，

∵在△BAM和△CAN中，

，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴∠ABC＝∠ACN；

（3）∠ACN＝120°，理由如下：

如圖③所示：

∵△ABC、△AMN是等邊三角形，

∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，

∴∠BAM＝∠CAN，∠ABM＝120°，

∵在△BAM和△CAN中，

，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴∠ABM＝∠ACN＝120°．