Question

【題目】設二次函數(shù)y1＝ax2+bx+a﹣5（a，b為常數(shù)，a≠0），且2a+b＝3．

（1）若該二次函數(shù)的圖象過點（﹣1，4），求該二次函數(shù)的表達式；

（2）y1的圖象始終經過一個定點，若一次函數(shù)y2＝kx+b（k為常數(shù)，k≠0）的圖象也經過這個定點，探究實數(shù)k，a滿足的關系式；

（3）已知點P（x0，m）和Q（1，n）都在函數(shù)y1的圖象上，若x0＜1，且m＞n，求x0的取值范圍（用含a的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】（1）y＝3x2﹣3x﹣2；（2）k＝2a﹣5；（3）x0<．

【解析】

（1）將點（﹣1，4），即可求該二次函數(shù)的表達式

（2）將2a+b＝3代入二次函數(shù)y＝ax2+bx+a﹣5（a，b為常數(shù)，a≠0）中，整理得y1＝[ax2+（3﹣2a）x+a﹣3]﹣2＝（ax﹣a+3）（x﹣1）﹣2，可知恒過點（1，2），代入一次函數(shù)y2＝kx+b（k為常數(shù)，k≠0）即可求實數(shù)k，a滿足的關系式

（3）通過y1＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，可求得對稱軸為x＝﹣，因為x0＜1，且m＞n，所以只需判斷對稱軸的位置即可求x0的取值范圍

解：（1）∵函數(shù)y1＝ax2+bx+a﹣5的圖象經過點（﹣1，4），且2a+b＝3

∴，

∴，

∴函數(shù)y1的表達式為y＝3x2﹣3x﹣2；

（2）∵2a+b＝3

∴二次函數(shù)y1＝ax2+bx+a﹣5＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，

整理得，y1＝[ax2+（3﹣2a）x+a﹣3]﹣2＝（ax﹣a+3）（x﹣1）﹣2

∴當x＝1時，y1＝﹣2，

∴y1恒過點（1，﹣2）

∴代入y2＝kx+b得

∴﹣2＝k+3﹣2a得k＝2a﹣5

∴實數(shù)k，a滿足的關系式：k＝2a﹣5

（3）

∵y1＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5

∴對稱軸為x＝﹣，

∵x0＜1，且m＞n

∴當a＞0時，對稱軸x＝﹣，解得，

當a＜0時，對稱軸x＝﹣，解得（不符合題意，故x0不存在）

故x0的取值范圍為：