Question

【題目】如圖，已知在正方形ABCD外取一點E，連接CE、BE、DE．過點C作CE的垂線交BE于點F．CE=CF=1，DF= ．下列結論：①△BCF≌△DCE；②EB⊥ED；③點D到直線CE的距離為2；④S四邊形DECF= + ．其中正確結論的序號是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：在正方形ABCD中，

BC=CD，∠BCD=90°，

∵∠EACF90°，

∴∠BCF=∠DCE，

在△BCF與△DCE中，

，

∴△BCE≌△DCF（SAS），

故①正確；

∵△BCF≌△DCE，

∴∠CBF=∠CDE，

∴∠DEB=∠BCD=90°，

∴BE⊥ED，

故②正確，

過點D作DM⊥CE，交CE的延長線于點M，

∵∠ECF=90°，

FC=EC=1，

∴∠CEF=45°，

∵∠DEM+∠CEB=90°，

∴∠DEM=∠EDM=45°，

∴EM=DM，

∴由勾股定理可求得：EF= ，

∵DF= ，

∴由勾股定理可求得：DE=2，

∵EF2+BF2=2BF2=BE2，

∴DM=EM= ，故③錯誤，

∵△BCF≌△ADCE，

∴S△BCF=S△DCE，

∴S△DCE+S△DCF

=S△ECF+S△DEF

=S△AEP+S△PEB

= + ，故④正確，

所以答案是①②④

【考點精析】本題主要考查了正方形的性質的相關知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．