Question

【題目】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線,MN經過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E。

（1）當直線MN繞點C旋轉到如圖1的位置時，求證：DE＝AD＋BE；

（2）當直線MN繞點C旋轉到如圖2的位置時，求證：DE＝AD－BE；

（3）當直線MN繞點C旋轉到如圖3的位置時，線段DE、AD、BE之間又有什么樣的數量關系？請你寫出這個數量關系，并證明

Answer 1

【答案】(1)DE =AD＋BE(2)DE=AD-BE,(3)DE=BE-AD.

【解析】

(1)根據AD⊥MN，BE⊥MN,利用同角的余角相等,證明∠BCE=∠DAC,進而證明△ADC≌△CEB（AAS）即可解題,

(2) 根據AD⊥MN，BE⊥MN,利用同角的余角相等,證明∠BCE=∠DAC, 由此仍然可以證明△ADC≌△CEB（AAS）,然后利用全等三角形的性質也可以解決問題,
(3)當直線MN繞點C旋轉到圖(3)的位置時,仍然可以證明△ADC≌△CEB（AAS）,然后利用全等三角形的性質可以得到DE=BE-AD.

解:(1)在△ABC中,∠ACB=90°,

∴∠ACD+∠BCE=90°,
又直線MN經過點C,且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E,

∴∠ADC=∠CEB=90°,
∴∠ACD+∠DAC=90°,
∴∠BCE=∠DAC,

∵AC=BC
∴△ADC≌△CEB（AAS）

∴CD=BE,AD=CE,

∴DE＝CD+CE=AD＋BE
(2) 在△ABC中,∠ACB=90°,

∴∠ACD+∠BCE=90°,
又直線MN經過點C,且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E,

∴∠ADC=∠CEB=90°,
∴∠ACD+∠CAD=90°,

∴∠CAD=∠BCE,

∵AC=BC

∴△ACD≌△CBE（AAS）

∴CD=BE, AD=CE
∴DE=CE-CD=AD-BE,
(3)如圖3, 在△ABC中,∠ACB=90°,

∴∠ACD+∠BCE=90°,
又直線MN經過點C,且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E,

∴∠ADC=∠CEB=90°,
∴∠ACD+∠CAD=90°,

∴∠CAD=∠BCE,

∵AC=BC

∴△ACD≌△CBE（AAS）

∴CD=BE,AD=CE,

∴DE=CD-CE=BE-AD
∴DE、AD、BE之間的關系為DE= BE-AD.