Question

【題目】已知正方形，為邊上一點不與、重合），過作，且，連接．

（1）如圖1，求的度數；

（2）如圖2，連接交于，求證：；

（3）如圖2，當，，則　 　（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）∠EAD=45°；（2）證明見詳解；（3）

【解析】

（1）如圖1中，作EH⊥BA于H．只要證明△HPE≌△CBP，推出BC=PH=AB，HE=PB，推出PB=AH=EH，推出∠HAE=45°，即可解決問題；

（2）作EK∥AB交BD于K．首先證明四邊形ABKE是平行四邊形，再證明△GEK≌△GCD，可得GD=GK，根據BD=CD，即可解決問題；

（3）利用（1）（2）中結論即可解決問題；

(1)如圖1中，作EH⊥BA于H.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠BAD=∠HAD=90°，AB=BC，

∵EP⊥PC，

∴∠EPC=90°，

∴∠BPC+∠HPE=90°,∠BPC+∠BCP=90°，

∴∠HPE=∠BCP，

在△HPE和△CBP中，

∴△HPE≌△CBP，

∴BC=PH=AB，HE=PB，

∴PB=AH=EH，

∴∠HAE=45°，

∴∠EAD=45°.

（2）證明：作EK∥AB交BD于K.

∵∠EAD=∠ADB=45°，

∴AE∥BK,

∵AB∥EK，

∴四邊形ABKE是平行四邊形，

∴EK=AB=CD，AE=BK，

∵AB∥CD,∴EK∥CD，

∴∠GEK=∠GCD，

∴△GEK≌△GCD，

∴GD=GK，

∵BD=CD，BD=BK+DK=AE+2DG，

∴AE+2DG=CD.

（3）由(1)可知AE=,由(2)可知+2DG=，

∴DG=，

∵BD=，

∴BG=