Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜邊AB的垂直平分線交AC于點D，點F在AC上，點E在BC的延長線上，CE＝CF，連接BF，DE.線段DE和BF在數量和位置上有什么關系？并說明理由．

Answer 1

【答案】DE＝BF，DE⊥BF.理由見解析.

【解析】試題分析：本題首先要給出答案，在說明理由. 連接DB，根據DH是AB的垂直平分線得出∠A=∠DBH，再根據三角形外角的性質得出∠CDB=∠A+∠DBH，故可得出CD=CB．由SAS定理得出△ECD≌△FCB，所以ED=FB，∠DEC=∠BFC，∠DEC+∠FBC=90°，進而可得出結論．

試題解析：

DE＝BF，DE⊥BF.

理由如下：

連接BD，延長BF交DE于點G.

∵點D在線段AB的垂直平分線上，∴AD＝BD，

∴∠ABD＝∠A＝22.5°.

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，

∴∠ABC＝67.5°，

∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝45°，

∴△BCD為等腰直角三角形，

∴BC＝DC.

又∵CE＝CF，∴Rt△ECD≌Rt△FCB(SAS)，

∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB.

∵∠CFB＋∠CBF＝90°，∴∠CED＋∠CBF＝90°，

∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF.