Question

如圖1，在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，D在BE上，且BD=AC，G在CF的延長線上且取CG=AB，連接AD，AG．  
（1）求證：△ABD≌△GCA；
（2）如圖2，若條件不變，連接GD，那么△ADG的形狀是

等腰直角三角形

．（只填結論即可）

Answer 1

分析：（1）根據三角形高線的定義得到∠BEA=∠CFA=90°，再根據等角的余角相等得到∠ABE=∠ACF，然后根據“SAS”可判斷△ABD≌△GCA；
（2）根據△ABD≌△GCA得到AD=AG，∠AGC=∠BAD，由于∠AGC+∠GAF=90°，則∠GAF+∠BAD=90°，即可判斷△ADG為等腰直角三角形．

解答：（1）證明：∵BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，
∴∠BEA=∠CFA=90°，
∴∠ABE+∠BAC=90°，∠ACF+∠BAC=90°，
∴∠ABE=∠ACF，
在△ABD和△GCA中

BD=AC ∠ABE=∠ACF AB=CG

，
∴△ABD≌△GCA（SAS）；

（2）解：∵△ABD≌△GCA，
∴AD=AG，∠AGC=∠BAD，
而∠AGC+∠GAF=90°，
∴∠GAF+∠BAD=90°，
即∠GAD=90°，
∴△ADG為等腰直角三角形．
故答案為等腰直角三角形．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等．也考查了等腰直角三角形的判定．