Question

【題目】觀察下列等式：

12×231=132×21，

13×341=143×31，

23×352=253×32，

34×473=374×43，

62×286=682×26，

…

以上每個等式中兩邊數字是分別對稱的，且每個等式中組成兩位數與三位數的數字之間具有相同規律，我們稱這類等式為“數字對稱等式”．

（1）根據上述各式反映的規律填空，使式子稱為“數字對稱等式”：

①52×　 　=　 　×25；

②　　×396=693×　　．

（2）設這類等式左邊兩位數的十位數字為a，個位數字為b，且2≤a+b≤9，寫出表示“數字對稱等式”一般規律的式子（含a、b），并證明．

Answer 1

【答案】解：（1）①275；572。

②63；36。

（2）“數字對稱等式”一般規律的式子為：

（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）。證明如下：

∵左邊兩位數的十位數字為a，個位數字為b，

∴左邊的兩位數是10a+b，三位數是100b+10（a+b）+a，

右邊的兩位數是10b+a，三位數是100a+10（a+b）+b，

∴左邊=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=（10a+b）（100b+10a+10b+a）

=（10a+b）（110b+11a）=11（10a+b）（10b+a），

右邊=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）=（100a+10a+10b+b）（10b+a）

=（110a+11b）（10b+a）=11（10a+b）（10b+a），

∴左邊=右邊。

∴“數字對稱等式”一般規律的式子為：

（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）。

【解析】分類歸納（數字的變化類），代數式的計算和證明。

①∵5+2=7，∴左邊的三位數是275，右邊的三位數是572。∴52×275=572×25。

②∵左邊的三位數是396，∴左邊的兩位數是63，右邊的兩位數是36。∴63×369=693×36。

（2）按照（1）中對稱等式的方法寫出，然后利用多項式的乘法進行證明即可。