Question

【題目】如圖1，O為直線AB上一點，OC為射線，∠AOC＝40°，將一個三角板的直角頂點放在點O處，一邊OD在射線OA上，另一邊OE與OC都在直線AB的上方．

（1）將三角板繞點O順時針旋轉，若OD恰好平分∠AOC（如圖2），試說明OE平分∠BOC；

（2）將三角板繞點O在直線AB上方順時針旋轉，當OD落在∠BOC內部，且∠COD＝∠BOE時，求∠AOE的度數(shù)：

（3）將圖1中的三角板和射線OC同時繞點O，分別以每秒6°和每秒2°的速度順時針旋轉一周，求第幾秒時，OD恰好與OC在同一條直線上？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）142.5°；（3）第10秒或第55秒時.

【解析】

（1）由角平分線的性質及同角的余角相等，可得答案；

（2）設∠COD＝α，則∠BOE＝3α，由題意得關于α的方程，求解即可；

（3）分兩種情況考慮：當OD與OC重合時；當OD與OC的反向延長線重合時．

解：（1）∵OD恰好平分∠AOC

∴∠AOD＝∠COD

∵∠DOE＝90°

∴∠AOD+∠BOE＝90°，∠COD+∠COE＝90°

∴∠BOE＝∠COE

∴OE平分∠BOC．

（2）設∠COD＝α，則∠BOE＝3α，當OD在∠BOC的內部時，

∠AOD＝∠AOC+∠COD＝40°+α

∵∠AOD+∠BOE＝180°﹣90°＝90°

∴40°+α+3α＝90°

∴α＝12.5°

∴∠AOE＝180°﹣3α＝142.5°

∴∠AOE的度數(shù)為142.5°．

（3）設第t秒時，OD與OC恰好在同一條直線上，則∠AOD＝6t，∠AOC＝2t+40°；

當OD與OC重合時，6t﹣2t＝40°

∴t＝10（秒）；

當OD與OC的反向延長線重合時，6t﹣2t＝180°+40°

∴t＝55（秒）

∴第10秒或第55秒時，OD恰好與OC在同一條直線上．