Question

如圖①，在□ABCD中，對角線AC⊥AB，BC=10，tan∠B=2．點E是BC邊上的動點，過點E作EF⊥BC于點E，交折線AB-AD于點F，以EF為邊在其右側作正方形EFGH，使EH邊落在射線BC上．點E從點B出發，以每秒1個單位的速度在BC邊上運動，當點E與點C重合時，點E停止運動，設點E的運動時間為t（）秒．
（1）□ABCD的面積為          ；當t=      秒時，點F與點A重合；
（2）點E在運動過程中，連接正方形EFGH的對角線EG，得△EHG，設△EHG與△ABC的重疊部分面積為S，請直接寫出S與t的函數關系式以及對應的自變量t的取值范圍；
（3）作點B關于點A的對稱點Bˊ，連接CBˊ交AD邊于點M（如圖②），當點F在AD邊上時，EF與對角線AC交于點N，連接MN得△MNC．是否存在時間t，使△MNC為等腰三角形？若存在，請求出使△MNC為等腰三角形的時間t；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）40；2            
（2） 
（3），或，或  

試題分析：
（1）考查學生利用平行四邊形和直角三角形解決基本問題的能力，運用直角三角形勾股定理和三角函數即可得解．
（2）關鍵確定幾個分界點，通過題意及動點所在位置，確定幾個分界，通過等式得出函數關系式．
（3）注意分類情況，可能是CN="CM" 或MN=MC或 MN=NC，分別解出即可．
試題解析：
（1）∵AC⊥AB，∴在Rt△BAC中BC=10，
tan∠B="2"
又
∴AC=，AB= ∴S_Rt△BAC=40
∴BE=2   ∴         
（2）依題意得分類可得，①當△EHG與△ABC的重疊部分都
在△ABC內部，S最大面積時，G落在AC上，則
△BEF∽△AFG，  AF=，BF=，AF+BF=，∴，S=（）
②當F點與A點重合時， 即，利用相似三角形、線段相互關系和面積關系，得
S=
③當F點過A點時，則當時，利用相似三角形、線段相互關系和面積關系，得
S=
④當時，利用相似三角形、線段相互關系和面積關系，得
S=


（3）CM=CN時，
MC=MN時，
NM=NC時，