Question

【題目】如圖①，已知⊙O的半徑為1，PQ是⊙O的直徑，n個相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都關于PQ對稱，其中第一個△A1B1C1的頂點A1與點P重合，第二個△A2B2C2的頂點A2是B1C1與PQ的交點……最后一個△AnBnCn的頂點Bn，Cn在圓上.

(1)如圖②，當n＝1時，求正三角形的邊長a1.

(2)如圖③，當n＝2時，求正三角形的邊長a2.

(3)如圖①，求正三角形的邊長an(用含n的代數式表示).

Answer 1

【答案】(1) a1＝.(2) a2＝’ (3) an＝.

【解析】分析：（1）設PQ與 交于點D，連接，得出OD= -O，用含的代數式表示OD，在△OD中，根據勾股定理求出正三角形的邊長；（2）設PQ與 交于點E，連接O，得出OE=E-O，用含的代數式表示OE，在△OE中，根據勾股定理求出正三角形的邊長；（3）設PQ與 交于點F，連接O，得出OF=F-O，用含an的代數式表示OF，在△OF中，根據勾股定理求出正三角形的邊長an．

本題解析：

(1)易知△A1B1C1的高為，則邊長為，

∴a1＝.

(2)設△A1B1C1的高為h，則A2O＝1－h，連結B2O，設B2C2與PQ交于點F，則有OF＝2h－1.

∵B2O2＝OF2＋B2F2，∴1＝(2h－1)2＋ .

∵h＝a2，∴1＝(a2－1)2＋a22，

解得a2＝ .

(3)同(2)，連結BnO，設BnCn與PQ交于點F，則有BnO2＝OF2＋BnF2，

即1＝(nh－1)2＋ .

∵h＝ an，∴1＝an2＋ ，

解得an＝ .