Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC的垂直平分線交AC邊于點D，交AB邊于點O，以點O為圓心，OB的長為半徑作圓，與AB邊交于點E．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若點P為⊙O上的動點（含點E，B），連接BD、BP、DP．

①當點P只在BE左側半圓上時，如果BC∥DP，求∠BDP的度數；

②若Q是BP的中點，當BE＝4時，直接寫出CQ長度的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①60°，②

【解析】

（1）連接OC，證明△ODC≌△OBC,說明OD＝OB，即可完成證明.

（2）①根據平行線的性質即可解答

②如圖2中，連接OP，取OB的中點J，連接JQ,求出JQ，JC，根據CQ≥JC-JQ即可解決問題.

（1）證明：如圖1中，連接OC．

∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，

∴∠ACB＝60°，

∵OD垂直平分線段AC，

∴OA＝OC，

∴∠A＝∠OCA＝30°，

∴∠OCB＝∠OCD＝30°，

∵∠ODC＝∠OBC＝90°，OC＝OC，

∴△ODC≌△OBC（AAS），

∴OD＝OB，

∴AC是⊙O的切線．

（2）①解：如圖1中，∵DP∥BC，

∴∠PDB＝∠DBC，

∵∠ABC＝90°，AD＝DC，

∴BD＝DC＝AD，

∵∠DCB＝60°，

∴△BDC是等邊三角形，

∴∠DBC＝60°，

∴∠BDP＝60°．

②解：如圖2中，連接OP，取OB的中點J，連接JQ．

∵BE＝4，

∴OB＝OE＝OD＝OP＝2，JO＝JB＝1，

∵∠OBC＝90°，∠OCB＝30°，

∴BC＝OB＝2，

∴JC＝＝＝，

∵QP＝QB，JO＝JB，

∴JQ＝OP＝1，

∵CQ≥JC﹣JQ，

∴CQ≥﹣1，

∴CQ的最小值為﹣1．