Question

【題目】如圖，在平面直角些標系中，二次函數y＝ax2+bx﹣的圖象經過點A（﹣1，0），C（2，0），與y軸交于點B，其對稱軸與x軸交于點D．

（1）求二次函數的表達式及其頂點的坐標；

（2）若P為y軸上的一個動點，連接PD，求PB+PD的最小值；

（3）M（x，t）為拋物線對稱軸上一個動點，若平面內存在點N，使得以A、B、M、N為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點N共有　 　個．

Answer 1

【答案】（1），拋物線的頂點坐標為（）；（2）最小值為；（3）5個

【解析】

(1)將A、C三點的坐標代入y=ax2+bx﹣，利用待定系數法即可求出二次函數的表達式，進而得到其頂點坐標；

(2)連接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此時PB+PD最小．最小值就是線段DH，求出DH即可．

(3)當以A，B，M，N為頂點的四邊形為菱形時，分三種情況：①以A為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，此時AM=AB；②以B為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，此時BM=AB；③線段AB的垂直平分線與對稱軸有一個交點，此時AM=BM．由M點的個數則可得出點N的個數有5個．

(1)∵二次函數的圖象經過點A(﹣1，0)C(2，0)，

∴，

解得：，

∴二次函數的表達式為，

∵y=，

∴拋物線的頂點坐標為()；

(2)如圖，連接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此時PB+PD最小．

理由：∵OA=1，OB=，

∴，

∵，

∴∠ABO=30°，

∴PH=PB，

∴PB+PD=PH+PD=DH，

∴此時PB+PD最短(垂線段最短);

∵拋物線的頂點坐標為()，

∴，

∵∠ABO=30°，

∴∠HAD=60°，

在Rt△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=，∠HAD=60°，

∴sin60°=，

∴DH=，

∴PB+PD的最小值為；

(3)①以A為圓心AB為半徑畫弧，因為AB＞AD，故此時圓弧與對稱軸有兩個交點，且AM=AB，即M點存在兩個，所以滿足條件的N點有兩個；

②以B為圓心AB為半徑畫弧，因為，故此時圓弧與對稱軸有兩個交點，且BM=AB，即M點有兩個，所以滿足條件的N點有兩個；

③線段AB的垂直平分線與對稱軸有一個交點，此時AM=BM，因為M點有一個，所以滿足條件的N點有一個；

則滿足條件的N點共有5個，

故答案為：5．